Задача №9 (общий размер всех выплат)
 

Содержание:

Не получается успешно решать задачи на дифференцированные платежи из ЕГЭ по математике?

Всем здравствуйте! Меня зовут Александр. Я - профессиональный репетитор по математике, информатике, программированию, базам данных и алгоритмам. Если коротко, то я - матерый технарь.cool

Одно из генеральных моих направлений - подготовка школьников к успешной сдаче ЕГЭ по математике и информатике. Потратьте буквально $2-3$ минуты собственного времени и познакомьтесь с отзывами моих учеников. Средний балл моих подопечных на официальном экзамене ЕГЭ составляет $91.35$ из $100$ возможных.

Задачи на дифференцированные платежи из ЕГЭ по математике являются одними из моих любимых. Вообще задания из экономического блока мне кажутся очень интересными и познавательными. Поэтому на своих индивидуальных уроках я с большим удовольствием показываю своим ученикам различные эффективные методики их решения.

Существует по-настоящему лишь $2$ способа подготовки на высоченный итоговый балл ЕГЭ по математике:

  1. Самоподготовка (автодидактирование).

  2. Под началом профессионального репетитора.

Мой контактный номер телефона прописан в шапке данного сайта. Звоните, договаривайтесь о времени проведения и записывайтесь на первый пробный урок.

Условие задачи

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(28\) миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(25\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платеж составит \(9\) миллионов рублей?

Решение задачи

Это классическая задача на дифференцированные платежи из ЕГЭ по математике. Почему я так решил? Потому, что есть фраза-маркер, в которой четко дают понять, что размер займа уменьшается равномерно. Вот эта фраза: "В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года".

С кредитной программой мы разобрались! Это очень важный момент. Если вы спутаете тип кредитной программы, то гарантировано получите неправильный результат. Именно по этой причине я настоятельно прошу всех выучить свойства и признаки схемы дифференцированных платежей.

Кстати, напомню, что фундаментально кредитная программа бывает двух видов:

Давайте введем следующие обозначения:

\(S\) - размер первоначального кредита \(r\) - процентная ставка банка, выраженная в долях \(R = 1 + r\) - для удобства расчетов
\(n\) - общее количество отчетных периодов \(i\) - номер текущего отчетного периода \(\%_{i}\) - размер начисленных банком процентов за конкретный период
\(p_{i}\) - размер платежа за конкретный период \(P\) - общая сумма всех выплат/платежей \(q\) - ставка банка, выраженная в процентах

Хочется отметить следующее, что не все выше обозначенные переменные нам потребуются в процессе решении задачи. Но понимать математический смысл вы обязаны каждой из них, если, конечно, не хотите "завалить" экзамен ЕГЭ по математике.yes

Дальше, давайте рассмотрим под микроскопом следующую фразу: "наибольший годовой платеж составит \(9\) миллионов рублей". В этой фразе содержится наиважнейшая информация, и ваша цель - суметь ее расшифровать. Для этого нужно прекрасно понимать, как устроена математическая модель дифференцированных платежей, а также знать свойства этих платежей.

Как известно, в схеме дифференцируемых платежей самый $1$-ый платеж является наибольшим, а самый последний - наименьшим! Значит, когда говорят про наибольший платеж, нужно подразумевать самый $1$-ый платеж.

Из условия вытекает, что:

$S = 28$, млн. руб. $q = 25\%$ $r = \frac{q}{100} = 0.25$ $p_{1} = 9$, млн. руб.

Наша задача определить $P$, то есть общий размер всех платежей/выплат!

Важно! Если вы хотите получить максимальный балл за решение задачи на дифференцированные платежи из ЕГЭ по математике, то в своем решении нужно привести вывод соответствуюей математической модели. Поэтому, если плохо знаете принцип работы этой модели - срочно идите ее изучать, зубрить.

Вспомним, что платеж за любой отчетный период формируется из размера начисленных процентов за данный период и равной части первоначального кредита:

$p_{i} = \%_{i} + \frac{S}{n}$ - размер $i$-го платежа.

Ранее мы выяснили, что из условия задачи нам известен размер $1$-го платежа ($i = 1$). Значит, процентная ставка банка $q$ действует на весь стартовый кредит:

$\%_{1} = \frac{n}{n} * S * r = S * r = 28 * 0.25 = 7$, млн. рублей. Тогда:

$p_{1} = \%_{1} + \frac{S}{n} = 7 + \frac{28}{n}$.

А размер $1$-го платежа нам задан, он равен $9$ млн. рублей, тогда решим следующее уравнение:

$7 + \frac{28}{n} = 9$

$\frac{28}{n} = 2$

$2 * n = 28$

$n = 14$.

Оказывается, первоначальный кредит был взят сроком на $14$ лет. При этом все ограничения будут соблюдены. Например, самый наибольший/первый платеж составит $9$ миллионов рублей. Отлично! Идем дальше!

Обратимся к формулам математической модели дифференцируемых платежей и "достанем" наиболее важную из них, а именно формулу, которая позволяет вычислить размер всех платежей:

$P = \frac{S\ *\ r\ * (n\ +\ 1)}{2} + S$.

Подставим все известные величины в эту формулу и получим ответ. Заметьте, что в этой формуле фигурирует переменная $n$, то есть необходимо знать общее количество отчетных периодов. Ее значение мы нашли на предыдущем шаге ($n = 14$).

$P = \frac{28\ *\ 0.25\ *\ (14\ +\ 1)}{2} + 28 = \frac{105}{2} + 28 = 52.5 + 28 = 80.5$, млн.руб.

Готово! Результат получен! Да, получилось нецелое значение, но это и не главное. Хотя в большинстве случаев входные данные в задачах на дифференцированные платежи из ЕГЭ по математике подбираются так, чтобы на выходе образовывалось что-то целое.

Но у любознательных старшеклассников может появиться вполне закономерный вопрос: "А правильный ли ответ?". Очевидно, что, да! wink Но ведь нужны какие-то гарантии, верно.

Верификацию полученного результата можно произвести арифметическим способом. То есть вы можете пройтись по всем отчетным периодам, вычисляя соответствующие платежи, размер начисленных банком процентов и т.п.

Но на своих индивидуальных занятиях, совместно с учеником, мы проводим верификацию полученных результатов, посредством математического процессора "MS Excel". Это очень удобный и наглядный вариант проверки решения. Также, построенная таблица обладает хорошим аналитизмом, то есть, анализируя выкладки этой таблицы, становятся понятны многие тонкие моменты, связанные с выплатой кредита.

Данная великолепная таблица доказывает правильность нашего алгебраического решения.

Ответ: 80.5

Выводы

  1. Для успешного решения задач на дифференцированные платежи из ЕГЭ по математике нужно знать назубок соответствующую математическую модель. Пока не поймете эту модель, даже не вздумайте пытаться что-то решать из подобного типа заданий.

  2. На официальном экзамене, для получения максимального балла за экономическую задачу, в своем решении приводите, в том числе и вывод математической модели. В этом случае ни один эксперт в процессе проверки не сможет "придраться" к вашим математическим выкладкам.

  3. Внимательно читайте условие задачи и обращайте особое внимание на фразы-маркеры. Это позволит вам выбрать наиболее эффективный способ решения и не ошибиться в выборе кредитной программы.

  4. Решайте задания с применением алгебраического способа, а не арифметического. Хотя оба этих способа уместны, но более профессиональным и продвинутым считается именно алгебраический.

  5. И, пожалуй, одно из главных - нужно любить математику. cheeky

Примеры условий реальных задач, встречающихся на ЕГЭ по математике

А сейчас я приведу список из нескольких задач на дифференцированные платежи из ЕГЭ по математике. Вы можете попробовать порешать их самостоятельно. Если будут трудности, то переходите по ссылке "Перейти к текстовому решению" и знакомьтесь полноценным моим решением.

Не забывайте о том, что раздел "Финансовая математика" содержит множество других типов задач: аннуитетные платежи, вклады, простые и сложные проценты, акции и т.д. Также зачастую попадаются комбинированные задачи, где происходит смешение моделей. Хотите во всем этом разбираться? Записывайтесь ко мне на частную подготовку!

Пример №1

В мае планируется взять кредит в банке на сумму \(10\) миллионов рублей на \(5\) лет.
Условия его возврата таковы:

  • Каждый декабрь долг возрастает на \(10\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С января по март каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В мае каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на май предыдущего года.

Сколько миллионов рублей составила общая сумма выплат после погашения банковского кредита?

Перейти к текстовому решению

Пример №2

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(6\) миллионов рублей на некоторый срок.
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(20\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил \(1.8\) миллиона рублей?

Перейти к текстовому решению

Пример №3

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(20\) миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(30\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась \(47\) миллионов рублей?

Перейти к текстовому решению

Пример №4

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(16\) миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(25\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась \(38\) миллионов рублей?

Перейти к текстовому решению

Пример №5

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(6\) миллионов рублей на срок \(15\) лет.
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(q\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Найти \(q\), если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более \(1.9\) миллиона рублей, а наименьший не менее \(0.5\) миллиона рублей.

Перейти к текстовому решению

Пример №6

\(15\) января планируется взять кредит в банке на \(39\) месяцев.
Условия его возврата таковы:

  • \(1-го\) числа каждого месяца долг возрастает на \(q\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца.

  • Со \(2-го\) по \(14-е\) число месяца необходимо выплатить часть долга.

  • \(15-го\) числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на \(15-е\) число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на \(20\%\) больше суммы, взятой в кредит. Найдите \(q\).

Перейти к текстовому решению

Пример №7

Анатолий взял банковский кредит сроком на \(9\) лет. В конце каждого года общая сумма оставшегося долга увеличивается на \(17\%\), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого года, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый год уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину.

Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Анатолием банку (сверх кредита)?

Перейти к текстовому решению

Пример №8

Анна взяла кредит в банке на срок \(12\) месяцев (\(1\) календарный год). В соответствии с банковским договором Анна возвращает кредит банку ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется \(q\%\) этой суммы, и своим ежемесячным платежом Анна погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга.

Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая модель называется "схемой с дифференцированными платежами"). Известно, что общая сумма, выплаченная Анной банку за весь период кредитования, оказалась на \(13\%\) больше, чем сумма, взятая ей в кредит. Найдите процентную ставку банка, то есть \(q\).

Перейти к текстовому решению

Пример №9

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(28\) миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(25\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платеж составит \(9\) миллионов рублей?

Перейти к текстовому решению

Пример №10

\(15\) января планируется взять кредит в банке на \(15\) месяцев.
Условия его возврата таковы:

  • \(1-го\) числа каждого месяца долг возрастает на \(1\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца.

  • Со \(2-го\) по \(14-е\) число каждого месяца необходимо выплатить часть долга.

  • \(15-го\) числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на \(15-е\) число предыдущего месяца.

Известно, что восьмая выплата составила \(108\,000\) рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Перейти к текстовому решению

Все эти задачи на дифференцированные платежи из ЕГЭ по математике решаются достаточно быстро, если вы хорошо знаете, как устроена математическая модель дифференцируемых платежей. Повторю, уже, наверное, раз $10$-ый - разбирайтесь с математической моделью, и будем вам счастье.

Также, время от времени, рекомендую обращаться к этому списку заданий, так как он постоянно обновляется и дополняется, появляются новые условия, а также соответствующие мои математические разборы.

Что-то все равно осталось непонятным? Записывайтесь ко мне на частную подготовку!

Если после прочтения данного материала у вас остались какие-то вопросы, недопонимания, то это некритично, и, даже, вполне логично! Недостаточно пристально рассмотреть одно решение задачи на дифференцированные платежи из ЕГЭ по математике. Нужен комплексный подход!

Я - репетитор-практик, который на своих занятиях, уделяет львиное количество времени конкретным разборам, техникам и эффективным методикам решения. Всевозможной теории полно в глобальной сети Интернет, а экзамен ЕГЭ по математике является практическим, то есть нужно уметь решать, а не знать теоретические изыски.

Мои занятия проходят дистанционно, посредством таких программ, как "Скайп" и "AnyDesk". Подобный формат взаимодействия репетитора с учеником является очень удобным, позволяет задействовать мультимедийные технологии, а также достаточно недорог.

Я достаточно востребованный и известный репетитор по математике и информатике, поэтому, не откладывайте свое решение в долгий ящик. Действуйте прямо сейчас! И не забывайте, что количество ученических мест ограничено, поэтому, завтра свободных мест уже может и не остаться.

 

Отзывы
моих учеников

Потанин
Михаил

 
Спасибо вам больше, без вас, я бы никогда не сделал эти работы. так как всегда плохо понимал программирование, тем более серьезное программирование. Сейчас я понимаю, что строки, на самом деле, примитивные структуры...

Александров
Михаил

 
В школе никогда не было нормальной информатики, поэтому на первом курсе я столкнулся с большой проблемой. Надо было научится программировать на языке "чистый" СИ. А я даже не знал азы и не представлял что такое...

Прохоров
Дмитрий

 
Спасибо вам). Я сам не ожидал, что мне поставят пятерку, просто попался билет, связанный с обработкой строк и структур, а мы их с вами очень детально изучили и мне было все предельно ясно. С практической задачей на...

Дмитров
Анатолий

 
Результат превзошел все мои ожидания! Изначально я планировал набрать в районе 80 баллов, но вы смогли меня натаскать на предельно высокий балл. В обязательном порядке я продолжу с вами обучение в процессе подготовки к...

Курцева
Мария

 
Я очень довольна результатами)) Меня бы даже устроило бы и 70 баллов. Положительные стороны репетитора: интересно доносит материал, является экспертом в своей области, уроки ориентированы на практику. Из отрицательных...

Иванов
Денис

 
Очень много нового узнал о ДС, Александр Георгиевич показал несколько способов построения бинарного дерева, а также реализацию функций повышенного уровня сложности. Когда шел на экзамен, то абсолютно не волновался, так...

Мельник
Игорь

 
Я рад, что обратился к такому сильному репетитору, как Александр Георгиевич. Видно, что он прекрасно разбирается в студенческом программировании, владеет терминологией на шикарнейшем уровне, очень понятно объясняет....

Станислав
Блок

 
Спасибо вам за подготовку. Было очень интересно и познавательно. Программированием заниматься в жизни не буду, т к чувствую, что нужно еще очень многое изучать. Спасибо вам еще раз.

Камю
Константин

 
Я сдал курсовой проект на отлично благодаря помощи репетитора Александра. Он очень доступно дает незнакомый и сложный материал. Понравилось еще то, что он старается все свои объяснения подкреплять визуальными...

Самуйлов
Кирилл

 
Спасибо вам большое за подготовку, было очень интересно и познавательно. На самом деле я осознаю свою ошибку - нужно было к вам обратиться хотя бы за 3 месяца и тогда бы мы все фундаментально успели рассмотреть и...

Сухоруков
Андрей

 
Я не ожидал, что Александр Георгиевич владеет знаниями, далеко выходящими за пределы любой вузовской программы. Вы очень сильный преподаватель и программист-практик. Я очень многому у него научился, почувствовал...

Соколов
Дмитрий

 
Я научился тому, о чем мечтал с 15 лет. Александр Георгиевич, оказывается, очень хорошо знает веб-программирование, хотя его основной профиль (по его словам) - подготовка к ОГЭ/ЕГЭ по информатике и ИКТ. Скажу честно,...

Ланцев
Дмитрий

 
Я был очень круто подготовлен. Александр Георгиевич натаскивал меня по полной программе, мы прорерашли более 200 задач по программированию, научились строить выйгрышные стратегии. Я сам виноват, что не повторил...

Евдокимов
Максим

 
Не думал, что смогу получить 91 балл на ЕГЭ, но у меня получилось, благодаря методикам моего репетитора. Очень понятно объясняет, особенно нюансы, в которых я всегда путался и ленился разбираться.

Шамшуров
Денис

 
Спасибо вам большое Александр Георгиевич! Вы практически сделали невозможное - натаскали меня к экзамену по программированию, которое я очень плохо понимал до того, как обратился к вам. Хочу отдельно отметить, что урок...

Арсеньев
Михаил

 
Еще учась в 9-ом классе, я для себя определил, что хочу продолжить обучение в одном из лучших ВУЗов страны и задолго до экзамена начал подготовку. Очень долго выбирал репетитора, но когда встретил Александра...

Уфимцев
Сергей

 
Хочется подчеркнуть высокую дисциплину на протяжении всех уроков, понятность объяснения и помощь даже во внеурочное время. Спасибо большое! Буду рекомендовать вас своим знакомым и друзьям))

Якименко
Александр

 
Я вообще, в школе учусь плоховато и, меня натаскивают родители, заставляют заниматься, но когда занимались с Александром Георгиевичем, то мне нравилось, я начал понимать и начинала появляться уверенность, что я Смогу....

Ермаченков
Александр

 
Был очень сложный экзамен, я безумно счастлив, что получил "хорошо", так как на "отлично" сдало всего 4 человека со всего потока (причем они серьезно изучали программирование еще до поступления в ВУЗ). Я понял, что С++...

Белов
Антон

 
Заниматься очень понравилось, преподаватель прекрасно знает преподаваемый материал. Многое узнал дополнительно, задавал много смежных вопросов и получал профессиональные ответы. Также понравилось, что в процессе урока...
Смотреть все отзывы
 
 
 
 
 
 
Авторизация на сайте
 
 
 
Обнаружили
ошибку на сайте?
Занятия по информатике