Содержание Ищете профессионального репетитора для подготовки к ОГЭ или ЕГЭ по математике? В чем отличие процента от простого процента? Или это синонимы? Нахождение указанного процента данного числа Нахождение числа по данной величине указанного его процента Нахождение выражения одного числа в процентах другого В каких типах задач словосочетание «простой процент» приобретает правильный смысл? Математическая модель простых процентов Некоторые задачи на проценты и простые проценты Остались вопросы, недопонимание? Звоните мне на мобильный телефон!

Всем здравствуйте! Меня зовут Александр Георгиевич. Я – московский рейтинговый репетитор по математике, информатике, базам данных, алгоритмам и программированию.

Я прекрасно осознаю, что вы чрезвычайно занятой человек, но, несмотря на это я настаиваю на том, чтобы вы потратили буквально несколько минут и познакомились с отзывами клиентов, прошедших индивидуальную подготовку под моим началом. Все они достигли поставленных целей за разумное время. Многие из них получили свыше \(90\) баллов из \(100\) возможных на официальных рубежных школьных экзаменах.

В моей обучающей программе присутствует экономический блок, который я успешно преподаю на протяжении последних несколько лет. В моей коллекции экономических задач содержится множество упражнений, ориентированных на простые проценты.

Частные занятия со мной проходят в различных территориальных форматах. Именно поэтому я сотрудничаю со школьниками и студентами со всех уголков нашей необъятной родины. Следовательно, если вы проживаете не в Москве, то расстояние не станет преградой для проведения эффективных и плодотворных занятий.

Вы спросите, а сколько стоят мои услуги, каковы тарифы? Специально для своих потенциальных клиентов я разработал многофакторную финансовую модель, которая предлагает вам 16 вариантов взаимовыгодного сотрудничества при подготовке к ЕГЭ по математике. Даже самый притязательный и педантичный потребитель сумеет выбрать вариант, который полностью покроет его текущие запросы.

Также вам не стоит забывать о том, что я достаточно востребованный репетитор, подготавливающий своих учеников на высшие отметки, поэтому не откладывайте свое решение в долгий ящик, берите мобильный телефон, набирайте мой контактный номер и записывайтесь на первый пробный урок.

Тема простых процентов крайне важна, так как позволяет понять квинтэссенцию процентов как таковых, а также познакомиться с процентами, которые рассматриваются в рамках банковских структур.

С понятием процента/процентов каждый из нас обязательно сталкивается в течение жизни. Везде, где есть какие-либо измерения величин, там появляются и процентные соотношения. Многие школьники, которым предстоит сдавать ЕГЭ по математике, не могут дать даже определение процента. Это нехорошо и этот пробел нужно закрыть!

Процентом (от лат. pro cento – с сотни) называется сотая часть числа.

Приведенное определение стоит зазубрить до конца своей жизни и уметь его воспроизводить в случае необходимости. Оно достаточно простое и понятное. Но мы сейчас начнем углубляться в данное понятие, и вы поймете, что с процентом не все так просто и однозначно.

В математике процент обозначают символом \(\%\). Данный символ указывается после числа. Например, двадцать пять процентов с позиции математической записи можно записать таким образом: \(25\%\).

Поскольку в определении говорится, что процент является сотой частью числа, то, например, если дано число \(450\), то процентом этого числа является значение \(4.5\). То есть \(1\%\) от числа \(450\) составляет \(4.5\).

В данный момент времени мы обсуждаем самые-самые азы, касающиеся процентов. Заметьте, пока не было ни одного упоминания простых процентов!

Можно выделить три основных типа задач на проценты:

1. Нахождение указанного процента данного числа.

2. Нахождение числа по данной величине указанного его процента.

3. Нахождение выражения одного числа в процентах другого.

Сразу хочу заметить, что все упражнения, которые я планирую разобрать, достаточно тривиальные, то есть простые. Возникает закономерный нюансовый вопрос: «А простые задачи на проценты и задачи на простые проценты, это одно и то же? Или имеются фундаментальные отличия?». Ответ вы получите, прочитав до конца данный материал, или, записавшись ко мне на индивидуальную подготовку.

Условие задачи По плану суточная выпечка хлеба на заводе должна равняться \(2\,200\) буханок. Завод принял обязательство выполнить \(120\%\) плана. Вопрос, сколько буханок хлеба должен дать завод в сутки? Решение В данном случае нам сходу сообщили базовое число – это значение \(2\,200\). Именно это значение можно принять за \(100\%\). Давайте обозначим за \(x\) количество буханок хлеба, которые планирует выпекать завод за сутки, учитывая переработку (то есть, вырабатывая план на \(120\%\)). Из всего выше сказанного можно получить следующую пропорцию: \(2\,200 - 100\%\) \(x - 120\%\) Решим данную пропорцию, воспользовавшись правилом, что произведение средних членов, равно произведению крайних, то есть: \(2\,200 \cdot 120\% = x \cdot 100\%\), откуда \(x = 2\,200 \cdot 120\%/100\% = 2\,640\), буханок хлеба Другими словами, \(120\%\) от числа \(2\,200\) составляет \(2\,640\). Ответ: \(2\,640\)

Вот такая примитивная задача. Но, несмотря на ее примитивизм, далеко не все школьники быстро и правильно смогут ее решить.

Чтобы максимально укрепить навыки решения задач на нахождение указанного процента данного числа записывайтесь ко мне на частную подготовку. Я – репетитор-практик, поэтому львиную долю времени, отводимого на урок, я посвящаю практическим решения и разборам.

Повторю, что в данный момент мы еще не коснулись определения простого процента, а до сих пор исследуем процент как таковой. Целесообразно сначала дифференцированно понять анатомию просто процента, а уже потом обращаться к простым процентам.

Давайте плавно перейдем к рассмотрению задач, ориентированных на нахождения числа по данной величине указанного его процента. Звучит немного запутанно и невнятно. Но это нормально, так как с процентами достаточно сложно работать неподготовленному читателю, а я не могу полностью устранить, упростить соответствующую терминологию, так как тогда все станет слишком вульгарно.

Условие задачи Вес сахарного песка составляет \(12.5\%\) от веса переработанной свекловицы. Сколько свекловицы требуется для изготовления \(2\,000\) килограмм сахарного песка? Решение В данном случае мы не знаем, чему равняется базовое значение, которое можно принять за \(100\%\), так как именно его и требуется определить. Поэтому, я предлагаю обозначить за \(x\) – количество килограмм свекловицы, требующееся для получения \(2\,000\) килограмм сахарного песка. А дальше можно составить простую пропорцию вида: \(x, кг - 100\%\) \(2\,000, кг - 12.5\%\) Решим данную пропорцию, воспользовавшись фундаментальным правилом, что произведение средних членов пропорции, равное произведению крайних. Тогда получим: \(x \cdot 12.5\% = 2\,000 \cdot 100\%\), откуда \(x = 2\,000 \cdot 100\% / 12.5\% = 16\,000\), кг То есть, чтобы получить \(2\,000\) килограмм сахарного песка, нам потребуется \(16\,000\) килограмм свекловицы. Ответ: \(16\,000\)

Это задача также достаточно примитивная, но, несмотря на это требуется понимать общий подход, общие методы решения. На своих частных уроках я колоссальное количество времени уделяю решению задач на проценты. Так как, не понимая основ финансовой математики, очень сложно претендовать на высокий официальный балл, на ЕГЭ по математике.

Переходим к заключительному направлению, которое ориентировано на нахождении выражении одного числа в процентах другого. Задания этого класса подразумевают ответ, выраженный в процентах. Обычно требуется рассчитать изменение какой-либо величины в процентном отношении.

Условие задачи По плану спортивного тренера спортсмен должен был пробежать дистанцию за \(25\) секунд. Фактически же бегун преодолел расстояние за \(24\) секунды. На сколько процентов был перевыполнен план тренера по затраченному времени? Решение Достаточно запутанная задача. Кстати, в данном примере даже и не пахнет простыми процентами. Это простая задача на проценты и не более того. Во-первых, нам нужно определиться с базой, базовой величиной. За базу следует принимать то, с чем мы будет сравнивать агрегирующую величину. В данном случае берем за базу значение в \(25\) секунд. Во-вторых, в конечном счете, мы должны сформировать процентную пропорцию. А ведь этого не сложно добиться, так как наша задача свелась к тому, чтобы выразить, сколько процентов число \(24\) составляет от числа \(25\). А затем найти искомую дельту, то есть разность. Из вышесказанного вытекает следующая зависимость: \(25 - 100\%\) \(24 - x\%\) Решим данную пропорцию, составив соотношение, что произведение средних членов равно произведению крайних членов. \(25 \cdot x = 24 \cdot 100\), откуда \(x = 24 \cdot 100\%/25 = 96,\%\) Сейчас найдем разность: \(100\% - 96\% = 4\%\). То есть план тренера был перевыполнен бегуном на \(4\%\). В мире большого спорта – это может являться очень значительным достижением. Ответ: на \(4\%\)

В итоге мы рассмотрели фундаментальные типы задач, которые связаны с процентами, но не с простыми процентами! То есть термины «процент» и «простой процент» маловзаимосвязаны, хотя на первый взгляд может показаться, что они являются синонимами.

Простой процент следует рассматривать исключительно в контексте инвестиционной политики, например, когда речь идет о банковском вкладе. С понятием простого процента неразрывно связан тип вклада, действующий по схеме без капитализации процентов.

Я не буду вдаваться в детальное описание вклада без капитализации процентов, так как исчерпывающую информацию вы сможете получить из моей статьи про банковский вклад (ссылка дана несколькими строками выше).

Лишь кратко напомню, что означает банковский вклад без капитализации процентов. Это такой тип вклада, когда проценты начисляются постоянно только на основную сумму депозита, то есть процентная ставка банка влияет лишь на первоначальный вклад.

Следовательно, когда хотят особо подчеркнуть, что данная задача ориентирована на простые проценты, фактически это означает, что эта задача будет рассматривать вклад без капитализации процентов.

На своих частных уроках в процессе подготовки к официальному экзамену ЕГЭ по математике я разбираю просто гомерическое количество примеров, связанных с простыми процентами, так как задания подобного рода очень любит давать ФИПИ. Поэтому методики решения экономических задач на простые проценты у вас должны быть отшлифованы до автоматизма.

А сейчас начнется один из самых важных моментов данной статьи. Сосредоточьтесь! Начинаем заниматься настоящей математикой.

Коротко напомню, что под математической моделью понимают некое формульное описание какого-либо процесса. То есть берут какой-то процесс, возможно, который даже встречается в вашей жизни, и пытаются описать его математическим языком.

Мы должны научиться отвечать математическими формулами на следующие вопросы:

• Как узнать размер вклада, после окончания срока вложения?

• Зная размеры стартового и конечного вкладов, как узнать процентную ставку банка?

• Как узнать, на какое количество лет/месяцев/дней был сделан вклад?

• Как получить размер первоначального вклада?

• Как посчитать прибыль от вложения денежных средств в банк?

И этот список вопросов вполне можно дополнять! Существует масса "хитрых" задач на простые проценты, где приходится "докручивать" математическую модель простых процентов, чтобы получить правильный результат.

Давайте введем следующие обозначения:

$V_{старт}$ - первоначальный размер вклада	$V_{конец}$ - окончательный размер вклада	$q$ - ставка банка, выраженная в процентах
$n$ - количество отчетных периодов	$r$ - ставка банка, выраженная в долях	$R = 1 + r$ - для удобства расчетов
$i$ - номер текущего отчетного периода	$\%{i}$ - размер начисленных банком процентов за конкретный период

В принципе все эти переменные важны при формировании математической модели простых процентов.

Абстрактный пример (условие задачи в общем виде) Вкладчик поместил сумму размером $V_{старт}$ рублей в банк. Процентная ставка банка по вкладам составляет $q\%$ в год. Тип вложения не предполагает капитализацию процентов. Определить, какого размера станет вклад через $n$ лет?

То есть, наша задача - понять, как можно быстро и эффективно рассчитать величину $V_{конец}$. Также сразу вычислим, что $r = \frac{q}{100}$.

$1$-й отчетный период ($i = 1$). Текущий размер вклада составляет ровно $V_{старт}$. Следовательно, процентная ставка банка действует на весь первоначальный вклад.

$\%_{1} = V_{старт} \cdot r$ - эта та сумма денег, которую банк добавит к вкладу в $1$-й отчетный период.

В итоге, когда закончится $1$-й отчетный период, баланс станет $V_{старт} + \%_{1} = V_{старт} + V_{старт} \cdot r$.

Напомню, что банк работает с вкладом без капитализации процентов, это означает, что процентная ставка банка $q$ в любой отчетный период влияет лишь на первоначальный вклад $V_{старт}$.

$2$-й отчетный период ($i = 2$). Текущий размер вклада составляет $V_{старт} + V_{старт} \cdot r$. Как было замечено выше, процентная ставка банка действует всегда на первоначальный вклад.

$\%_{2} = V_{старт} \cdot r$ - эта та сумма денег, которую банк добавит к вкладу во $2$-й отчетный период.

В итоге, когда закончится $2$-й отчетный период, баланс станет $(V_{старт} + V_{старт} \cdot r) + \%_{2} = (V_{старт} + V_{старт} \cdot r) + V_{старт} \cdot r = V_{старт} + 2 \cdot V_{старт} \cdot r$.

Думаю, что детальное рассмотрение первых двух отчетных периодов достаточно, чтобы вы сумели уловить суть подобных математических преобразований. Напомню, что мы занимаемся выводом математической модели простых процентов. Предлагаю провести тщательный анализ $2$-ух последних отчетных периодов.

Предпоследний отчетный период ($i = (n - 1)$). Как понять, чему равняется размер вклада на начало предпоследнего отчетного периода? Так как первоначальный вклад равномерно увеличивается на постоянную величину, равную $V_{старт} \cdot r$, то несложно вычислить его размер на начало предпоследнего периода:

$V_{старт} + ((n - 1) - 1) \cdot V_{старт} \cdot r = V_{старт} + (n - 2) \cdot V_{старт} \cdot r$

Процентная ставка по вкладу действует только на размер первоначального вклада, то есть:

$\%_{(n - 1)} = V_{старт} \cdot r$ - эта та сумма денег, которую банк добавит к вкладу в предпоследний отчетный период.

В итоге, когда закончится предпоследний отчетный период, баланс станет $(V_{старт} + (n - 2) \cdot V_{старт} \cdot r) + \%_{(n - 1)} = \\ (V_{старт} + (n - 2) \cdot V_{старт} \cdot r) + V_{старт} \cdot r = V_{старт} + (n - 1) \cdot V_{старт} \cdot r$.

Последний отчетный период ($i = n$). Текущий размер вклада составляет величину $V_{старт} + (n - 1) \cdot V_{старт} \cdot r$. После этого происходит стандартное банковское начисление в размере $V_{старт} \cdot r$. Это начисление добавляется к текущему вкладу, и на этом процесс вложения окончен. Запишем конечную формулу:

$V_{конец} = V_{старт} + (n - 1) \cdot V_{старт} \cdot r + V_{старт} \cdot r = V_{старт} + n \cdot V_{старт} \cdot r = V_{старт}(1 + n \cdot r)$.

$V_{конец} = V_{старт} \cdot (1 + n \cdot r)$ - наиважнейшая формула, используемая в схеме простых процентов.

Настоятельно рекомендую зазубрить эту формулу, чтобы выдавали ее в любое время суток на автомате. Благодаря выведенной зависимости большинство задач, ориентированных на простые проценты, можно решать в течение $1$ минуты.

Предлагаю свести все выкладки математической модели в следующую таблицу:

$i$	Размер вклада до начисления %	Размер %	Размер вклада после начисления %
$1$	$V_{старт}$	$V_{старт} · r$	$V_{старт} + V_{старт} · r$
$2$	$V_{старт} + V_{старт} · r$	$V_{старт} · r$	$V_{старт} + 2 · V_{старт} · r$
$...$	$...$	$...$	$...$
$n - 1$	$V_{старт} + (n - 2) · V_{старт} · r$	$V_{старт} · r$	$V_{старт} + (n - 1) · V_{старт} · r$
$n$	$V_{старт} + (n - 1) · V_{старт} · r$	$V_{старт} · r$	$V_{старт} + n · V_{старт} · r$

Если на официальном экзамене ЕГЭ по математике попадется задание на простые проценты, то постарайтесь в решение вставить вывод этой математической модели, ну, хотя бы в сокращенном варианте. Иначе эксперты ФИПИ при проверке могут не поставить вам максимальный балл, несмотря на то, что вы получили абсолютно правильный ответ.

Теперь ответы на любые вопросы по вкладу без капитализации процентов можно получить достаточно быстро, необходимо лишь воспользоваться выведенной формулой.

На этом процесс построения математической модели простых процентов успешно завершен!

Выше мы посмотрели три примера задач на проценты. Давайте я продублирую их условия повторно, но исключительно только условия, так как полноценные решения приведены выше в данной статье!

Пример на повторение №1 По плану суточная выпечка хлеба на заводе должна равняться \(2\,200\) буханок. Завод принял обязательство выполнить \(120\%\) плана. Вопрос, сколько буханок хлеба должен дать завод в сутки? Смотреть текстовое решение

Пример на повторение №2 Вес сахарного песка составляет \(12.5\%\) от веса переработанной свекловицы. Сколько свекловицы требуется для изготовления \(2\,000\) килограмм сахарного песка? Смотреть текстовое решение

Пример на повторение №3 По плану спортивного тренера спортсмен должен был пробежать дистанцию за \(25\) секунд. Фактически же бегун преодолел расстояние за \(24\) секунды. На сколько процентов был перевыполнен план тренера по затраченному времени? Смотреть текстовое решение

А теперь обратимся к задачам на простые проценты. Если вы хорошо знакомы с задачами, ориентированными на банковские вклады, то их решение не вызывает у вас какого-либо значительного затруднения.

Задача №1 Вкладчик поместил сумму размером \(80\,000\) рублей в банк. Процентная ставка банка по вкладам составляет \(9\%\) в год. Схема вложений денег не предполагает капитализацию процентов. Определить, какого размера станет вклад через \(6\) лет? Перейти к текстовому решению

Задача №2 Вкладчик поместил сумму размером \(300\,000\) рублей в банк. В договоре прописано, что схема начисления процентов на депозит не предполагает их капитализации. Через \(9\) лет на его балансе образовалось сумма в размере  \(516\,000\) рублей. Определить процентную ставку банка по вкладу. Перейти к текстовому решению

Задача №3 Вкладчик открыл счет в банке. Процентная ставка по банковским вкладам составляет \(8\%\) в год. Через \(3\) года на счете вкладчика сформировалась сумма размером \(310\,000\) рублей. Определить первоначальный банковский вклад (в рублях). Перейти к текстовому решению

Само собой разумеется, что существуют крайне эффективные методики, математические модели благодаря которым можно безошибочно решать финансовые задачи на простые проценты. Все эти нюансы я разбираю со своими подопечными на своих частных уроках. И все мои ученики, в конечном счете, очень глубоко начинают понимать суть этих задач, следовательно, решают их безошибочно, не тратя на решение «бесконечное» количество времени.

Также я настоятельно вам рекомендую разобраться еще с одним часто встречаемым типом задач – экономические задачи на сложные проценты. Глубинное понимание принципа работы простых и сложных процентов значительно укрепить ваши позиции в первую очередь в заданиях, связанных с банковскими вкладами.

Материал, рассматриваемый в данной статье, не является архисложным, но превалирующему большинству людей все-таки достаточно проблематично с наскока понять все подводные течения и камни процентной тематики.

Поэтому, если после прочтения данной публикации остались какие-либо вопросы относительно процентов или задач, связанных с простыми процентами, то прямо сейчас берите мобильный телефон, набирайте мой контактный номер и задавайте любые интересующие вас тематические вопросы.

Раздел «Финансовая математика», включенный в состав официального экзамена ЕГЭ по математике, только на первый взгляд кажется необъемным и легкорешаемым. Это не так! Я со своими учениками в процессе интенсивной подготовки прорешиваю порядка \(300\) задач экономического толка и на это уходит порядка месяца-двух.

Чтобы набрать максимально высокий балл на официальном экзамене ко мне следует записываться не за неделю до его начала, а в идеале в начале учебного года, чтобы я успел разработать для вас индивидуальный курс подготовки с учетом ваших текущих математико-экономических знаний и умений.

Не забывайте подписываться на мой официальный YouTube-канал, который находится в актуальном состоянии. На свой канал я выкладываю множество роликов, демонстрирующих решения заданий по информатике и математике. Также моя видеоколлекция еженедельно пополняется экономическим видеорешением.

Не откладывайте свое решение в долгий ящик. Мне ежедневно поступает около 2-5 звонков от потенциальных клиентов. А я все-таки не робот и не могу взаимодействовать с учениками в круглосуточном режиме, то есть я могу взять на подготовку лишь ограниченное число школьников и студентов.

Поэтому звоните прямо сейчас, бронируйте место в моем плотном графике расписания занятий, пока еще осталось несколько вакантных мест.