Всем привет! Вы находитесь на моем персональном сайте подготовки к ОГЭ/ЕГЭ по математике. Также сферой моих профессиональных интересов является подготовка школьников к ОГЭ/ЕГЭ по информатике, а студентов к зачетам и экзаменам по различным языкам программирования.

Для своих потенциальных клиентов я разработал специальный финансовый фильтр, позволяющий выбрать тот формат уроков, который соответствует вашим ожиданиям. Обращаю ваше внимание на тот факт, что в настоящий момент времени, когда господствует научно-технический прогресс, большинство моих учеников занимаются дистанционно, используя, например, программу "Скайп".

Испытываете сложности в решении задач из официального экзамена ЕГЭ по математике, ориентированных на дифференцированные платежи по кредиту? Тогда срочно берите в руки телефон, набирайте мой контактный номер телефона и записывайтесь на первый пробный урок.

Закажите
звонокСмотрите
отзывыНапишите
письмоЗакажите
работу

В июле планируется взять кредит в банке на сумму $6$ миллионов рублей на срок $15$ лет.
Условия его возврата таковы:

• Каждый январь долг возрастает на $q\%$ по сравнению с концом предыдущего года.

• С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

• В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Найти q, если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более $1.9$ миллиона рублей, а наименьший не менее $0.5$ миллиона рублей.

Вообще, когда нужно отыскать процентную ставку банка, у старшеклассников возникает множество проблем. Поэтому давайте осторожно начнем разбираться и проводить анализ постановки задачи.

Во-первых, нужно понять, о какой кредитной программе идет речь. Напомню, что можно выделить $2$ следущих программы: дифференцированные платежи по кредиту и аннуитетные выплаты по кредиту.

Но при внимательном прочтении условия задачи можно заметить намеки на то, что нужно использовать схему дифференцируемых платежей. Вот эта фраза является маркером, указывающим на это: "В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года". Это одно из базовых свойств модели дифференцируемых выплат, когда размер кредита уменьшается равными частями. Идем дальше!

Во-вторых, в обязательном порядке, нужно понимать принцип работы схемы дифференцированных платежей по кредиту, а особенно основательно разбираться в соответствующей математической модели. Эта модель - ключ к успешному решению практически всех заданий, ориентированных на дифференцированные выплаты. Обязательно познакомьтесь с этой моделью, если даже помните ее частично.

Давайте введем следующие обозначения:

Подобные обозначения я использую в каждом примере, чтобы читатель не путался в переменных, когда переключается между решениями и соответствующими математическими выкладками.

Из условия вытекает, что:

Наша цель отыскать значение переменной $q$. Внимательно, ищем именно $q$, а не $r$. Все-таки между ними есть небольшое отличие.

Те, кто хорошо понимает модель дифференцированных платежей по кредиту, сразу скажут, что можно точно указать, какой по счету платеж является максимальным, а, какой минимальным. Давно доказано, в том числе и мною, что в модели дифференцируемых платежей $1$-й платеж является наибольшим, а последний - наименьшим. Как все просто, да?

Значит, наши ограничения принимают вид:

$\begin{cases}p_{1} \le 1.9 \\ p_{15} \ge 0.5\end{cases}$

Осталось разобраться с тем, как математически выразить $1$-ю и $15$-ю выплаты. Нужно знать из каких составляющих состоит платеж как таковой:

Одну часть первоначального кредита получаем по формуле $\frac{S}{n}$, а размер начисленных процентов за $i$-й период можно получить из этой формулы $\%_{i} = \frac{n - i + 1}{n} * S * r$. Значит:

$p_{1} = \frac{15 - 1 + 1}{15} * 6 * r + \frac{6}{15} = \frac{15}{15} * 6 * r + \frac{2}{5} = 6 * r + \frac{2}{5}$.

$p_{15} = \frac{15 - 15 + 1}{15} * 6 * r + \frac{6}{15} = \frac{1}{15} * 6 * r + \frac{2}{5} = \frac{2}{5} * r + \frac{2}{5} = \frac{2}{5} * (r + 1)$.

В итоге получаем систему, которую нужно довести до финализации:

$\begin{cases}6 * r + \frac{2}{5}\le 1.9 \\ \frac{2}{5} * (r + 1) \ge 0.5\end{cases}\:\:\leftrightarrow\:\:\begin{cases}30 * r + 2\le 9.5 \\ 2*r + 2\ge 2.5\end{cases}\:\: \leftrightarrow \:\: \begin{cases}30 * r \le 7.5 \\ 2 * r \ge 0.5 \end{cases}$

И, в итоге, образуется очень интересный вариант неравенств:

$\begin{cases}r \le 0.25 \\ r \ge 0.25 \end{cases} \:\:\:\: \leftrightarrow \:\:\: r = 0.25$

Несмотря на то, что мы решали систему неравенств, получился однозначный результат. Так как именно лишь число $0.25$ одновременно попадает в области решений обеих неравенств. Круто! Все очень просто, если фундаментально понимать модель дифференцированных платежей по кредиту.

Но нам нужен ответ, выраженный в процентах, а не в долях! Напомню базовую формулу, связывающую эти величины: $r = \frac{q}{100 \%}$. Очевидно, что из нее элементарно высчитывается $q$: $q = r * 100 \% = 0.25 * 100 \% = 25 \%$. А вот это уже официальный ответ к поставленной задаче!

Но как убедиться в правильности полученного ответа? А вдруг допущена ошибка! На своих индивидуальных уроках я строю верифицирующую таблицу в великолепной программе "MS Excel". В данном случае она будет иметь следующий вид:

Это прекрасная аналитическая таблица, демонстрирующая все этапы дифференцированных выплат по кредиту. Внимательный $11$-классник сразу увидит множество закономерностей в колонках этой таблицы. Особенно хорошо заметны ряды значений, образующих арифметическую прогрессию.

Ответ: $25 \%$.

Все упирается в хорошее понимание модели дифференцированных платежей. Кто знает эту модель - тот крайне силен в подобных задачах. Кто не знает - нужно срочно ее изучать!

В обязательном порядке нужно знать свойства дифференцируемых платежей, а также зависимости данных, которые подчиняются арифметической прогрессии.

Ну, и, разумеется, нужно правильно определять кредитную программу. Для этого я рекомендую многократно перечитывать постановку задачи, выявлять необходимые маркеры, указывающие на тип кредитных платежей.

А сейчас я предлагаю вам самостоятельно прорешать ниже приведенные задачи на дифференцированные платежи по кредиту. Ко всем из них прилагается полноценное текстовое решение. Но, все-таки, попробуйте решить их сами, а затем сверить ответы. Конечно, если вы чувствуете, что пока не готовы решать подобные задания, то смело переходите по соответствующей ссылке и изучайте решение.

А вообще, одна из моих ролей, как профессионального репетитора по математике и информатике, контролировать ваше решение, ход ваших мыслей и предположений и давать необходимые подсказки. Поэтому, если нужна моя квалифицированная помощь, то записывайтесь ко мне на частную подготовку.

Рекомендую отслеживать данный список, так как я постоянно наполняю его новыми материалами, в том числе нестандартными задачами на дифференцированные платежи по кредиту. И помните о том, что только практика и правильно подобранная программа индивидуальной подготовки, сделает вас неимоверно сильным в данной области.

Я прекрасно понимаю, что на самом деле, недостаточно внимательно прочитать данную статью. Подход должен быть более глобальным и всеобъемлющим. Данное решение - лишь песчинка среди пустыни под названием "Экономические задачи".

Я - репетитор-практик! Это означает, что на своих уроках колоссальное количество времени я уделяю реальным задачам и решениям. Изучать теорию можно по классическим учебникам или посредством глобальной сети Интернет. Виртуальная среда предлагает множество сайтов, ориентированных на теоретические изыски. Правда информация очень часто является искаженной, недостоверной и неполной.

Я же для своих подопечных составляю индивидуальный план подготовки, подбираю задания, уровень сложности которых соответствует уровню "прокаченности" знаний ученика. Поэтому, если хотите заниматься решениями задач на дифференцированные платежи по кредиту, то выбирайте подходящее вам расписание и записывайтесь на $1$-й пробный урок.

И не забывайте о том, что я достаточно известный репетитор , мне перманентно поступают заявки на индивидуальное обучение, а количество ученических мест строго ограничено. Поэтому, не откладывайте собственное решение в долгий ящик и действуйте прямо сейчас. Телефон прописан в шапке данного сайта, а электронный адрес можно отыскать в подвале сайта, пройдя по ссылке "Контакты".

Дифференцированный
платёж

Аннуитетный
платёж

Банковский
вклад

Акции

Простые
проценты

Сложные
проценты

Задачи
на оптимизацию

Комбинированные
задачи