Задача №5 (нахождение процентной ставки банка)
 

Содержание:

Возникают проблемы с задачами из ЕГЭ по математике на дифференцированные платежи по кредиту?

Всем привет! Вы находитесь на моем персональном сайте подготовки к ОГЭ/ЕГЭ по математике. Также сферой моих профессиональных интересов является подготовка школьников к ОГЭ/ЕГЭ по информатике, а студентов к зачетам и экзаменам по различным языкам программирования.

Для своих потенциальных клиентов я разработал специальный финансовый фильтр, позволяющий выбрать тот формат уроков, который соответствует вашим ожиданиям. Обращаю ваше внимание на тот факт, что в настоящий момент времени, когда господствует научно-технический прогресс, большинство моих учеников занимаются дистанционно, используя, например, программу "Скайп".

Испытываете сложности в решении задач из официального экзамена ЕГЭ по математике, ориентированных на дифференцированные платежи по кредиту? Тогда срочно берите в руки телефон, набирайте мой контактный номер телефона и записывайтесь на первый пробный урок.

Условие задачи

В июле планируется взять кредит в банке на сумму $6$ миллионов рублей на срок $15$ лет.
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на $q\%$ по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Найти q, если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более $1.9$ миллиона рублей, а наименьший не менее $0.5$ миллиона рублей.

Решение задачи

Вообще, когда нужно отыскать процентную ставку банка, у старшеклассников возникает множество проблем. Поэтому давайте осторожно начнем разбираться и проводить анализ постановки задачи.

Во-первых, нужно понять, о какой кредитной программе идет речь. Напомню, что можно выделить $2$ следущих программы: дифференцированные платежи по кредиту и аннуитетные выплаты по кредиту.

Но при внимательном прочтении условия задачи можно заметить намеки на то, что нужно использовать схему дифференцируемых платежей. Вот эта фраза является маркером, указывающим на это: "В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года". Это одно из базовых свойств модели дифференцируемых выплат, когда размер кредита уменьшается равными частями. Идем дальше!

Во-вторых, в обязательном порядке, нужно понимать принцип работы схемы дифференцированных платежей по кредиту, а особенно основательно разбираться в соответствующей математической модели. Эта модель - ключ к успешному решению практически всех заданий, ориентированных на дифференцированные выплаты. Обязательно познакомьтесь с этой моделью, если даже помните ее частично.

Давайте введем следующие обозначения:

\(S\) - размер первоначального кредита \(r\) - процентная ставка банка, выраженная в долях \(R = 1 + r\) - для удобства расчетов
\(n\) - общее количество отчетных периодов \(i\) - номер текущего отчетного периода \(\%_{i}\) - размер начисленных банком процентов за конкретный период
\(p_{i}\) - размер платежа за конкретный период \(P\) - общая сумма всех выплат/платежей \(q\) - ставка банка, выраженная в процентах

Подобные обозначения я использую в каждом примере, чтобы читатель не путался в переменных, когда переключается между решениями и соответствующими математическими выкладками.

Из условия вытекает, что:

$S = 6$, млн. рублей $n = 15$ $p_{max} \le 1.9$ $p_{min} \ge 0.5$

Наша цель отыскать значение переменной $q$. Внимательно, ищем именно $q$, а не $r$. Все-таки между ними есть небольшое отличие.

Те, кто хорошо понимает модель дифференцированных платежей по кредиту, сразу скажут, что можно точно указать, какой по счету платеж является максимальным, а, какой минимальным. Давно доказано, в том числе и мною, что в модели дифференцируемых платежей $1$-й платеж является наибольшим, а последний - наименьшим. Как все просто, да? wink

Значит, наши ограничения принимают вид:

$\begin{cases}p_{1} \le 1.9 \\ p_{15} \ge 0.5\end{cases}$

Осталось разобраться с тем, как математически выразить $1$-ю и $15$-ю выплаты. Нужно знать из каких составляющих состоит платеж как таковой:

<Размер i-го платежа> = <Сумма начисленных процентов> + <Одна часть первоначального кредита>

Одну часть первоначального кредита получаем по формуле $\frac{S}{n}$, а размер начисленных процентов за $i$-й период можно получить из этой формулы $\%_{i} = \frac{n - i + 1}{n} * S * r$. Значит:

$p_{1} = \frac{15 - 1 + 1}{15} * 6 * r + \frac{6}{15} = \frac{15}{15} * 6 * r + \frac{2}{5} = 6 * r + \frac{2}{5}$.

$p_{15} = \frac{15 - 15 + 1}{15} * 6 * r + \frac{6}{15} = \frac{1}{15} * 6 * r + \frac{2}{5} = \frac{2}{5} * r + \frac{2}{5} = \frac{2}{5} * (r + 1)$.

В итоге получаем систему, которую нужно довести до финализации:

$\begin{cases}6 * r + \frac{2}{5}\le 1.9 \\ \frac{2}{5} * (r + 1) \ge 0.5\end{cases}\:\:\leftrightarrow\:\:\begin{cases}30 * r + 2\le 9.5 \\ 2*r + 2\ge 2.5\end{cases}\:\: \leftrightarrow \:\: \begin{cases}30 * r \le 7.5 \\ 2 * r \ge 0.5 \end{cases}$

И, в итоге, образуется очень интересный вариант неравенств:

$\begin{cases}r \le 0.25 \\ r \ge 0.25 \end{cases} \:\:\:\: \leftrightarrow \:\:\: r = 0.25$

Несмотря на то, что мы решали систему неравенств, получился однозначный результат. Так как именно лишь число $0.25$ одновременно попадает в области решений обеих неравенств. Круто! angry Все очень просто, если фундаментально понимать модель дифференцированных платежей по кредиту.

Но нам нужен ответ, выраженный в процентах, а не в долях! Напомню базовую формулу, связывающую эти величины: $r = \frac{q}{100 \%}$. Очевидно, что из нее элементарно высчитывается $q$: $q = r * 100 \% = 0.25 * 100 \% = 25 \%$. А вот это уже официальный ответ к поставленной задаче!

Но как убедиться в правильности полученного ответа? А вдруг допущена ошибка! На своих индивидуальных уроках я строю верифицирующую таблицу в великолепной программе "MS Excel". В данном случае она будет иметь следующий вид:

Это прекрасная аналитическая таблица, демонстрирующая все этапы дифференцированных выплат по кредиту. Внимательный $11$-классник сразу увидит множество закономерностей в колонках этой таблицы. Особенно хорошо заметны ряды значений, образующих арифметическую прогрессию.

Ответ: $25 \%$.

Выводы и рекомендации

Все упирается в хорошее понимание модели дифференцированных платежей. Кто знает эту модель - тот крайне силен в подобных задачах. Кто не знает - нужно срочно ее изучать!

В обязательном порядке нужно знать свойства дифференцируемых платежей, а также зависимости данных, которые подчиняются арифметической прогрессии.

Ну, и, разумеется, нужно правильно определять кредитную программу. Для этого я рекомендую многократно перечитывать постановку задачи, выявлять необходимые маркеры, указывающие на тип кредитных платежей.

Примеры условий реальных задач, встречающихся на ЕГЭ по математике

А сейчас я предлагаю вам самостоятельно прорешать ниже приведенные задачи на дифференцированные платежи по кредиту. Ко всем из них прилагается полноценное текстовое решение. Но, все-таки, попробуйте решить их сами, а затем сверить ответы. Конечно, если вы чувствуете, что пока не готовы решать подобные задания, то смело переходите по соответствующей ссылке и изучайте решение.

А вообще, одна из моих ролей, как профессионального репетитора по математике и информатике, контролировать ваше решение, ход ваших мыслей и предположений и давать необходимые подсказки. Поэтому, если нужна моя квалифицированная помощь, то записывайтесь ко мне на частную подготовку.

Пример №1

В мае планируется взять кредит в банке на сумму \(10\) миллионов рублей на \(5\) лет.
Условия его возврата таковы:

  • Каждый декабрь долг возрастает на \(10\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С января по март каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В мае каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на май предыдущего года.

Сколько миллионов рублей составила общая сумма выплат после погашения банковского кредита?

Перейти к текстовому решению

Пример №2

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(6\) миллионов рублей на некоторый срок.
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(20\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил \(1.8\) миллиона рублей?

Перейти к текстовому решению

Пример №3

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(20\) миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(30\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась \(47\) миллионов рублей?

Перейти к текстовому решению

Пример №4

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(16\) миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(25\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась \(38\) миллионов рублей?

Перейти к текстовому решению

Пример №5

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(6\) миллионов рублей на срок \(15\) лет.
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(q\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Найти \(q\), если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более \(1.9\) миллиона рублей, а наименьший не менее \(0.5\) миллиона рублей.

Перейти к текстовому решению

Пример №6

\(15\) января планируется взять кредит в банке на покупку нового автомобиля на \(39\) месяцев.
Условия его возврата таковы:

  • \(1-го\) числа каждого месяца долг возрастает на \(q\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца.

  • Со \(2-го\) по \(14-е\) число месяца необходимо выплатить часть долга.

  • \(15-го\) числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на \(15-е\) число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на \(20\%\) больше суммы, взятой в кредит. Найдите \(q\).

Перейти к текстовому решению

Пример №7

Анатолий взял банковский кредит сроком на \(9\) лет. В конце каждого года общая сумма оставшегося долга увеличивается на \(17\%\), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого года, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый год уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину.

Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Анатолием банку (сверх кредита)?

Перейти к текстовому решению

Пример №8

Анна взяла кредит в банке на срок \(12\) месяцев (\(1\) календарный год). В соответствии с банковским договором Анна возвращает кредит банку ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется \(q\%\) этой суммы, и своим ежемесячным платежом Анна погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга.

Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая модель называется "схемой с дифференцированными платежами"). Известно, что общая сумма, выплаченная Анной банку за весь период кредитования, оказалась на \(13\%\) больше, чем сумма, взятая ей в кредит. Найдите процентную ставку банка, то есть \(q\).

Перейти к текстовому решению

Пример №9

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(28\) миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(25\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платеж составит \(9\) миллионов рублей?

Перейти к текстовому решению

Пример №10

\(15\) января планируется взять кредит в банке на \(15\) месяцев.
Условия его возврата таковы:

  • \(1-го\) числа каждого месяца долг возрастает на \(1\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца.

  • Со \(2-го\) по \(14-е\) число каждого месяца необходимо выплатить часть долга.

  • \(15-го\) числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на \(15-е\) число предыдущего месяца.

Известно, что восьмая выплата составила \(108\,000\) рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Перейти к текстовому решению

Рекомендую отслеживать данный список, так как я постоянно наполняю его новыми материалами, в том числе нестандартными задачами на дифференцированные платежи по кредиту. И помните о том, что только практика и правильно подобранная программа индивидуальной подготовки, сделает вас неимоверно сильным в данной области.

Хотите научиться профессионально решать задачи на дифференцированные платежи по кредиту? Записывайтесь на частные занятия!

Я прекрасно понимаю, что на самом деле, недостаточно внимательно прочитать данную статью. Подход должен быть более глобальным и всеобъемлющим. Данное решение - лишь песчинка среди пустыни под названием "Экономические задачи".

Я - репетитор-практик! Это означает, что на своих уроках колоссальное количество времени я уделяю реальным задачам и решениям. Изучать теорию можно по классическим учебникам или посредством глобальной сети Интернет. Виртуальная среда предлагает множество сайтов, ориентированных на теоретические изыски. Правда информация очень часто является искаженной, недостоверной и неполной.

Я же для своих подопечных составляю индивидуальный план подготовки, подбираю задания, уровень сложности которых соответствует уровню "прокаченности" знаний ученика. Поэтому, если хотите заниматься решениями задач на дифференцированные платежи по кредиту, то выбирайте подходящее вам расписание и записывайтесь на $1$-й пробный урок.

И не забывайте о том, что я достаточно известный репетитор cool, мне перманентно поступают заявки на индивидуальное обучение, а количество ученических мест строго ограничено. Поэтому, не откладывайте собственное решение в долгий ящик и действуйте прямо сейчас. Телефон прописан в шапке данного сайта, а электронный адрес можно отыскать в подвале сайта, пройдя по ссылке "Контакты".

 

Отзывы
моих учеников

Крылов
Антон

 
Я не ожидал, что получу 83 балла, думал, максимум 70, а результат меня ошеломил. Вы просто мастер Александр Георгиевич, выражаю вам благодарность большую.

Калиновский
Илья

 
Как только поступил в ВУЗ, думал, что буду отчислен из-за дисциплины программирования, т к оказалось очень сложной и у меня ничего не получалось. Потом нашел репетитора и вместе с ним научился средне программировать и...

Потапова
Ирина

 
Спасибо большое вам за помощь. Без вашей поддержки я бы не получила 5-ку на экзамене. Хочу особенно отметить, что на ваших уроках вы даете очень много полезной сопутствующей информации, в том числе и разного рода...

Потанин
Михаил

 
Спасибо вам больше, без вас, я бы никогда не сделал эти работы. так как всегда плохо понимал программирование, тем более серьезное программирование. Сейчас я понимаю, что строки, на самом деле, примитивные структуры...

Волков
Павел

 
Спасибо вам большое. Да, курсовая была непростой, но я сдал ее на 5-ку. Хочу отметить атмосферу проводимых уроков: во-первых, мы занимались в чистой и опрятной комнате, во-вторых, на уроке стоит здоровая учебная...


Маслова

 
Я очень долго искала профессионального репетитора, который знает не только азы Паскаля, а также хорошо разбирается в динамических структурах данных. Очень рада, что Александр Георгиевич оказался замечательным...

Станислав
Блок

 
Спасибо вам за подготовку. Было очень интересно и познавательно. Программированием заниматься в жизни не буду, т к чувствую, что нужно еще очень многое изучать. Спасибо вам еще раз.

Ермаченков
Александр

 
Был очень сложный экзамен, я безумно счастлив, что получил "хорошо", так как на "отлично" сдало всего 4 человека со всего потока (причем они серьезно изучали программирование еще до поступления в ВУЗ). Я понял, что С++...

Прохоров
Дмитрий

 
Спасибо вам). Я сам не ожидал, что мне поставят пятерку, просто попался билет, связанный с обработкой строк и структур, а мы их с вами очень детально изучили и мне было все предельно ясно. С практической задачей на...

Некрасов
Алексей

 
Спасибо большое за помощь. На ваших уроках всегда высокая дисциплина, очень требовательны и строго проверяете домашнее задание. В целом я получил те знания, которые мне требовались. А вообще с графикой сложно работать,...

Малышев
Евгений

 
В школе никогда не было нормальной информатики, поэтому на первом курсе я столкнулся с большой проблемой. Надо было научится программировать на языке Паскаль. А я даже не знал азы и не представлял что такое...

Белкин
Юрий

 
Круто, что я сдал на 5 свой экзамен, было оооооочень сложно, но у меня получилось. Кстати, Александр Георгиевич кроме языка СИ еще приводил сравнения с языком С++, очень круто на самом деле. Заниматься понравилось и...

Орлов
Максим

 
Спасибо большое вам Александр Георгиевич. Было очень интересно и увлекательно решать с вами данные лабораторные. Они оказались не такими сложными, какими они казались изначально. Оказывается процесс программирования...

Юзов
Артур

 
Я благодарен Александру Георгиевичу за его работу со мной. Теперь чувствую себя уверенно при программирование на языке Паскаль. Если у меня в процессе последующего обучения возникнут какие-то проблемы, я обязательно...

Арсеньев
Михаил

 
Еще учась в 9-ом классе, я для себя определил, что хочу продолжить обучение в одном из лучших ВУЗов страны и задолго до экзамена начал подготовку. Очень долго выбирал репетитора, но когда встретил Александра...

Каховская
Оксана

 
Хочу всем сказать, что я по своему духу лингвист. Паскаль - это формальный язык написания текстов. Благодаря репетитору я уверенно себя стала чувствовать при написании программ. Мне досконально понятны все базовые...

Леонов
Никос

 
Полученный бал, превзошел все мои ожидания, так как я максимум рассчитывал на 90 баллов тестовых. Думаю, получением столь высокой оценки я обязан репетитору Александру Георгиевичу. Но мой личный вклад тоже не мал!

Коряков
Михаил

 
Когда я начал заниматься с Александром Георгиевичем, у меня уже была довольно сильная база, но мы ее упрочили невероятно сильно дополнительными методиками. Я научился решать наиболее оптимально огромное количество задач...

Ахматова
Юлия

 
В нашем вузе я должна была сдавать экзамену по C#. Билеты были очень сложные. Один вопрос теоретический, практическая задача в консоли и лабораторная, связанная с базами данных. Знания у меня были тусклые в этих...

Сухоруков
Андрей

 
Я не ожидал, что Александр Георгиевич владеет знаниями, далеко выходящими за пределы любой вузовской программы. Вы очень сильный преподаватель и программист-практик. Я очень многому у него научился, почувствовал...

Мельник
Игорь

 
Я рад, что обратился к такому сильному репетитору, как Александр Георгиевич. Видно, что он прекрасно разбирается в студенческом программировании, владеет терминологией на шикарнейшем уровне, очень понятно объясняет....

Корелов
Дмитрий

 
Нравится заниматься программированием с Александром Георгиевичем, сейчас уже точно уверен, что буду программистом на одном из лучших современных языков программирования.
Смотреть все отзывы
 
 
 
 
 
 
Авторизация на сайте
 
 
 
Обнаружили
ошибку на сайте?
Занятия по информатике