Приветствую вас на своем персональном сайте. Зовут меня Александр. Я - профессиональный репетитор по математике, информатике, программированию, базам данных и алгоритмам. Одно из моих генеральных направлений - подготовка школьников $10-11$ классов к успешной сдаче ЕГЭ по математике.

Средний балл моих учеников составляет $91.35$ из $100$ возможных. Рекомендую потратить буквально $2-3$ минутки и ознакомиться с их отзывами. Все они достигли поставленных результатов. Думаю, что у вас, тоже все получится!

Частные уроки проходят дистанционно. Это удобное, эффективно и недорого. Специально для своих потенциальных клиентов я разработал финансовый фильтр, который позволит вам выбрать тот вариант нашего взаимодействия, который полностью соответствует вашим пожеланиям.

Задания из экономического блока являются одними из моих любимых, поэтому я с удовольствием покажу вам эффективные методики решений задач на дифференцированные платежи по займу.

Закажите
звонокСмотрите
отзывыНапишите
письмоЗакажите
работу

Анна взяла кредит в банке на срок $12$ месяцев ($1$ календарный год). В соответствии с банковским договором Анна возвращает кредит банку ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется $q\%$ этой суммы, и своим ежемесячным платежом Анна погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга.

Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая модель называется "схемой с дифференцированными платежами"). Известно, что общая сумма, выплаченная Анной банку за весь период кредитования, оказалась на $13\%$ больше, чем сумма, взятая ей в кредит.

Найдите процентную ставку банка, то есть $q$.

Начнем? Перечитаем внимательно постановку задачи еще раз. Нам сразу сообщили, что это задание на дифференцированные платежи по займу. Ну, что ж, нашим проще.

А вообще, не всегда ясно, какой тип кредитной программы используется. Напомню, что фундаментально существует 2 типа платежей:

• схема дифференцированных платежей;

• схема аннутитетных платежей.

И не всегда легко однозначно детектировать, какую схему платежей нужно использовать в том или ином решении. В этом обычно помогают специальные фразы-маркеры. Но в данном примере все однозначно. Подсказка была зашита напрямую в условие задания.

Давайте введем следующие обозначения:

Это сквозные обозначения, используемые во всех задачах на дифференцированные платежи по займу. Такая конвенция позволяет читателю легко переключаться между заданиями и быстрее понимать соответствующие математические выкладки.

Давайте рассмотрим следующую фразу: "Известно, что общая сумма, выплаченная Анной банку за весь период кредитования, оказалась на $13\%$ больше, чем сумма, взятая ей в кредит". Именно на $13\%$ больше! Переведем из чистых процентов в части/доли: $\frac{13\%}{100\%} = 0.13$.

Как можно выразить <общую сумму всех платежей> через <размер первоначального займа>? Разумеется, можно посчитать устно, но, лучше, давайте, составим и решим следующее отношение:

$\begin{cases}S - 100\% \\ P - S + 13\%\end{cases} \:\:\: \leftrightarrow \:\:\: \begin{cases}S - 100\% \\ P - 100\% + 13\%\end{cases} \:\:\: \leftrightarrow \:\:\: \begin{cases}S - 100\% \\ P - 113\% \end{cases}$

Или, если выражать через части/доли относительно $S$: $P = 1.13 * S$.

Из условия вытекает, что:

Наша цель - определить значение банковской процентной ставки, то есть $q$. Внимательно, ищем именно $q$, а не $r$. Хотя эти переменные выражают одно и то же, только в разных единицах измерения.

Чтобы двигаться дальше, нужно прибегнуть к математической модели дифференцированных платежей по займу. В этой модели есть формула, которая позволяет нам найти все необходимые величины за кратчайшие сроки. Если вы не знакомы с этой моделью, то срочно бегите ее изучать!

$P = \frac{S\ *\ r\ *\ (n\ +\ 1)}{2} + S$.

Предлагаю подставить все известные в эту фундаментальную формулу:

$1.13\ * S = \frac{S\ *\ r\ *\ (12\ +\ 1)}{2} + S$   $| :S$

$1.13 = \frac{r\ *\ 13}{2} + 1$

$\frac{r\ *\ 13}{2} = 0.13$   $| *2$

$13\ *\ r = 0.26$

$r = \frac{0.26}{13} = \frac{26}{100} : 13 = \frac{26}{100\ *\ 13} = \frac{2}{100} = 0.02$

Сделано! Тривиально, не так ли? Но это еще не конечный ответ, так как мы получили банковскую процентную ставку, выраженную в долях, а нам нужно в "чистых" процентах. Нет вопросов! $q = r\ *\ 100\% = 0.02\ * 100\% = 2\%$. А вот это уже, то, что требуется, то есть - официальный ответ к данной задаче.

А мы точно все правильно решили? Случайно ошибка нигде не затерялась? Нужна верификация найденного ответа, то есть нужна проверка правильности полученного значения.

Можно, конечно, воспользоваться арифметическим способом и построить таблицу вручную, но на своих частных уроках мы получаем аналитическую таблицу в программе "MS Excel". Вот она!

Эта прекрасная аналитическая таблица демонстрирует поэтапно все банковские операции, проводимые в процессе гашения взятой ссуды. Обратите внимание на значения в колонке "Кредит после платежа".

Видно, что тело кредита уменьшается равными частями, а это значит, что наше решение полностью соответствует схеме дифференцированных платежей по займу.

Ответ: $2\%$.

Задания из экономического блока ЕГЭ по математике никогда не отличались легкостью. У старшеклассников всегда возникает колоссальное количество проблем в задачах, ориентированных на дифференцированные платежи по займу!

Почему так? Да потому, что плохо знают математическую модель дифференцированных платежей. Основательное понимание этой модели позволяет щелкать подобные задания буквально за считанные минуты.

Также нужно расширять свой кругозор, изучая смежные типы заданий, например, изучать принцип работы простых и сложных процентов, анализировать модели, применяемые в банковских вкладах и т.п.

А сейчас пришло время вам поработать самостоятельно. Специально для вас я подготовил список заданий, ориентированных на дифференцированные платежи по займу.

Потратьте необходимое количество времени и попробуйте сами решить эти примеры. Разумеется, если что-то не будет получаться, то вы сможете без проблем познакомиться с соответствующим решением, пройдя по ссылке "Перейти к текстовому решению". Но сначала попробуйте разгрызть эти задания самостоятельно.

Рекомендую вам перманентно возвращаться к этому списку, так как я его постоянно дополняю новыми решениями. Вообще, задачи на дифференцированные выплаты одни из моих любимых, поэтому я трачу на их исследование достаточно много времени.

Сразу скажу, что абсолютно недостаточно прочитать эту статью, чтобы стать сильнее в области финансовой математики. Необходимо постоянно совершенствоваться, изучать новые решения. Желательно под началом опытного репетитора.

Я - репетитор-практик! Это означает, что на индивидуальных уроках львиное количество времени посвящается разборам конкретных заданий. Мною выдается ученику на домашнее прорешивание колоссальное количество примеров, а затем, на уроке, я показываю те решения, которые у него не получились самостоятельно.

Чтобы стать профессиональным решателем задач на дифференцированные выплаты по займу нужно очень серьезно заниматься кредитными программами, исследовать соответствующие математические модели, решать десятками задания разного толка.

Не забывайте о том, что я достаточно востребованный репетитор, следовательно, количество ученических мест ограничено. Действуйте прямо сейчас, не откладывайте решение в долгий ящик. Ведь завтра свободных мест уже может и не остаться.

Увидимся на уроке, решая задачи на дифференцированные платежи!

Дифференцированный
платёж

Аннуитетный
платёж

Банковский
вклад

Акции

Простые
проценты

Сложные
проценты

Задачи
на оптимизацию

Комбинированные
задачи