Задача №8 (поиск процентной ставки банка)
 

Содержание:

Возникают проблемы с задачами из ЕГЭ по математике на дифференцированные выплаты по займу?

Приветствую вас на своем персональном сайте. Зовут меня Александр. Я - профессиональный репетитор по математике, информатике, программированию, базам данных и алгоритмам. Одно из моих генеральных направлений - подготовка школьников $10-11$ классов к успешной сдаче ЕГЭ по математике.

Средний балл моих учеников составляет $91.35$ из $100$ возможных. Рекомендую потратить буквально $2-3$ минутки и ознакомиться с их отзывами. Все они достигли поставленных результатов. Думаю, что у вас, тоже все получится!

Частные уроки проходят дистанционно. Это удобное, эффективно и недорого. Специально для своих потенциальных клиентов я разработал финансовый фильтр, который позволит вам выбрать тот вариант нашего взаимодействия, который полностью соответствует вашим пожеланиям.

Задания из экономического блока являются одними из моих любимых, поэтому я с удовольствием покажу вам эффективные методики решений задач на дифференцированные платежи по займу.

Условие задачи

Анна взяла кредит в банке на срок $12$ месяцев ($1$ календарный год). В соответствии с банковским договором Анна возвращает кредит банку ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется $q\%$ этой суммы, и своим ежемесячным платежом Анна погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга.

Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая модель называется "схемой с дифференцированными платежами"). Известно, что общая сумма, выплаченная Анной банку за весь период кредитования, оказалась на $13\%$ больше, чем сумма, взятая ей в кредит.

Найдите процентную ставку банка, то есть $q$.

Решение задачи

Начнем? Перечитаем внимательно постановку задачи еще раз. Нам сразу сообщили, что это задание на дифференцированные платежи по займу. Ну, что ж, нашим проще.smiley

А вообще, не всегда ясно, какой тип кредитной программы используется. Напомню, что фундаментально существует 2 типа платежей:

И не всегда легко однозначно детектировать, какую схему платежей нужно использовать в том или ином решении. В этом обычно помогают специальные фразы-маркеры. Но в данном примере все однозначно. Подсказка была зашита напрямую в условие задания.

Давайте введем следующие обозначения:

\(S\) - размер первоначального кредита \(r\) - процентная ставка банка, выраженная в долях \(R = 1 + r\) - для удобства расчетов
\(n\) - общее количество отчетных периодов \(i\) - номер текущего отчетного периода \(\%_{i}\) - размер начисленных банком процентов за конкретный период
\(p_{i}\) - размер платежа за конкретный период \(P\) - общая сумма всех выплат/платежей \(q\) - ставка банка, выраженная в процентах

Это сквозные обозначения, используемые во всех задачах на дифференцированные платежи по займу. Такая конвенция позволяет читателю легко переключаться между заданиями и быстрее понимать соответствующие математические выкладки.

Давайте рассмотрим следующую фразу: "Известно, что общая сумма, выплаченная Анной банку за весь период кредитования, оказалась на $13\%$ больше, чем сумма, взятая ей в кредит". Именно на $13\%$ больше! Переведем из чистых процентов в части/доли: $\frac{13\%}{100\%} = 0.13$.

Как можно выразить <общую сумму всех платежей> через <размер первоначального займа>? Разумеется, можно посчитать устно, но, лучше, давайте, составим и решим следующее отношение:

$\begin{cases}S - 100\% \\ P - S + 13\%\end{cases} \:\:\: \leftrightarrow \:\:\: \begin{cases}S - 100\% \\ P - 100\% + 13\%\end{cases} \:\:\: \leftrightarrow \:\:\: \begin{cases}S - 100\% \\ P - 113\% \end{cases}$

Или, если выражать через части/доли относительно $S$: $P = 1.13 * S$.

Из условия вытекает, что:

$S = S$, млн. рублей $n = 12$ $P = 1.13 * S$ $q - ?$

Наша цель - определить значение банковской процентной ставки, то есть $q$. Внимательно, ищем именно $q$, а не $r$. Хотя эти переменные выражают одно и то же, только в разных единицах измерения.

Чтобы двигаться дальше, нужно прибегнуть к математической модели дифференцированных платежей по займу. В этой модели есть формула, которая позволяет нам найти все необходимые величины за кратчайшие сроки. Если вы не знакомы с этой моделью, то срочно бегите ее изучать!

$P = \frac{S\ *\ r\ *\ (n\ +\ 1)}{2} + S$.

Предлагаю подставить все известные в эту фундаментальную формулу:

$1.13\ * S = \frac{S\ *\ r\ *\ (12\ +\ 1)}{2} + S$   $| :S$

$1.13 = \frac{r\ *\ 13}{2} + 1$

$\frac{r\ *\ 13}{2} = 0.13$   $| *2$

$13\ *\ r = 0.26$

$r = \frac{0.26}{13} = \frac{26}{100} : 13 = \frac{26}{100\ *\ 13} = \frac{2}{100} = 0.02$

Сделано! Тривиально, не так ли?angel Но это еще не конечный ответ, так как мы получили банковскую процентную ставку, выраженную в долях, а нам нужно в "чистых" процентах. Нет вопросов! $q = r\ *\ 100\% = 0.02\ * 100\% = 2\%$. А вот это уже, то, что требуется, то есть - официальный ответ к данной задаче.

А мы точно все правильно решили? Случайно ошибка нигде не затерялась? Нужна верификация найденного ответа, то есть нужна проверка правильности полученного значения.

Можно, конечно, воспользоваться арифметическим способом и построить таблицу вручную, но на своих частных уроках мы получаем аналитическую таблицу в программе "MS Excel". Вот она!

Эта прекрасная аналитическая таблица демонстрирует поэтапно все банковские операции, проводимые в процессе гашения взятой ссуды. Обратите внимание на значения в колонке "Кредит после платежа".

Видно, что тело кредита уменьшается равными частями, а это значит, что наше решение полностью соответствует схеме дифференцированных платежей по займу.

Ответ: $2\%$.

Выводы и рекомендации

Задания из экономического блока ЕГЭ по математике никогда не отличались легкостью. У старшеклассников всегда возникает колоссальное количество проблем в задачах, ориентированных на дифференцированные платежи по займу!

Почему так? Да потому, что плохо знают математическую модель дифференцированных платежей.angry Основательное понимание этой модели позволяет щелкать подобные задания буквально за считанные минуты.

Также нужно расширять свой кругозор, изучая смежные типы заданий, например, изучать принцип работы простых и сложных процентов, анализировать модели, применяемые в банковских вкладах и т.п.

Примеры условий реальных задач, встречающихся на ЕГЭ по математике

А сейчас пришло время вам поработать самостоятельно. Специально для вас я подготовил список заданий, ориентированных на дифференцированные платежи по займу.

Потратьте необходимое количество времени и попробуйте сами решить эти примеры. Разумеется, если что-то не будет получаться, то вы сможете без проблем познакомиться с соответствующим решением, пройдя по ссылке "Перейти к текстовому решению". Но сначала попробуйте разгрызть эти задания самостоятельно.wink

Пример №1

В мае планируется взять кредит в банке на сумму \(10\) миллионов рублей на \(5\) лет.
Условия его возврата таковы:

  • Каждый декабрь долг возрастает на \(10\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С января по март каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В мае каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на май предыдущего года.

Сколько миллионов рублей составила общая сумма выплат после погашения банковского кредита?

Перейти к текстовому решению

Пример №2

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(6\) миллионов рублей на некоторый срок.
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(20\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил \(1.8\) миллиона рублей?

Перейти к текстовому решению

Пример №3

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(20\) миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(30\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась \(47\) миллионов рублей?

Перейти к текстовому решению

Пример №4

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(16\) миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(25\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась \(38\) миллионов рублей?

Перейти к текстовому решению

Пример №5

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(6\) миллионов рублей на срок \(15\) лет.
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(q\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Найти \(q\), если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более \(1.9\) миллиона рублей, а наименьший не менее \(0.5\) миллиона рублей.

Перейти к текстовому решению

Пример №6

$15$ января планируется взять кредит в банке на \(39\) месяцев.
Условия его возврата таковы:

  • $1$-го числа каждого месяца долг возрастает на \(q\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца.

  • Со $2$-го по $14$-е число месяца необходимо выплатить часть долга.

  • $15$-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на $15$-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на $20\%$ больше суммы, взятой в кредит. Найдите $q$.

Перейти к текстовому решению

Пример №7

Анатолий взял банковский кредит сроком на \(9\) лет. В конце каждого года общая сумма оставшегося долга увеличивается на \(17\%\), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого года, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый год уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину.

Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Анатолием банку (сверх кредита)?

Перейти к текстовому решению

Пример №8

Анна взяла кредит в банке на срок \(12\) месяцев (\(1\) календарный год). В соответствии с банковским договором Анна возвращает кредит банку ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется \(q\%\) этой суммы, и своим ежемесячным платежом Анна погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга.

Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая модель называется "схемой с дифференцированными платежами"). Известно, что общая сумма, выплаченная Анной банку за весь период кредитования, оказалась на \(13\%\) больше, чем сумма, взятая ей в кредит. Найдите процентную ставку банка, то есть \(q\).

Перейти к текстовому решению

Пример №9

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(28\) миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(25\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платеж составит \(9\) миллионов рублей?

Перейти к текстовому решению

Пример №10

\(15\) января планируется взять кредит в банке на \(15\) месяцев.
Условия его возврата таковы:

  • $1$-го числа каждого месяца долг возрастает на \(1\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца.

  • Со $2$-го по $14$-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга.

  • $15$-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на $15$-е число предыдущего месяца.

Известно, что восьмая выплата составила \(108\,000\) рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Перейти к текстовому решению

Рекомендую вам перманентно возвращаться к этому списку, так как я его постоянно дополняю новыми решениями. Вообще, задачи на дифференцированные выплаты одни из моих любимых, поэтому я трачу на их исследование достаточно много времени.

Хотите научиться профессионально решать задачи на дифференцированные выплаты по займу? Записывайтесь на индивидуальные уроки!

Сразу скажу, что абсолютно недостаточно прочитать эту статью, чтобы стать сильнее в области финансовой математики. Необходимо постоянно совершенствоваться, изучать новые решения. Желательно под началом опытного репетитора.

Я - репетитор-практик! Это означает, что на индивидуальных уроках львиное количество времени посвящается разборам конкретных заданий. Мною выдается ученику на домашнее прорешивание колоссальное количество примеров, а затем, на уроке, я показываю те решения, которые у него не получились самостоятельно.

Чтобы стать профессиональным решателем задач на дифференцированные выплаты по займу нужно очень серьезно заниматься кредитными программами, исследовать соответствующие математические модели, решать десятками задания разного толка.

Не забывайте о том, что я достаточно востребованный репетитор, следовательно, количество ученических мест ограничено. Действуйте прямо сейчас, не откладывайте решение в долгий ящик. Ведь завтра свободных мест уже может и не остаться.

Увидимся на уроке, решая задачи на дифференцированные платежи!wink

 

Отзывы
моих учеников


Маслова

 
Я очень долго искала профессионального репетитора, который знает не только азы Паскаля, а также хорошо разбирается в динамических структурах данных. Очень рада, что Александр Георгиевич оказался замечательным...

Крылов
Антон

 
Я не ожидал, что получу 83 балла, думал, максимум 70, а результат меня ошеломил. Вы просто мастер Александр Георгиевич, выражаю вам благодарность большую.

Сычев
Владимир

 
Понравилось заниматься, т к я научился более серьезно понимать программные конструкции, понял наконец-то что такое "указатель" и уже не так сильно боюсь программирования. Главное, больше практиковаться и решать простые...

Ермаченков
Александр

 
Был очень сложный экзамен, я безумно счастлив, что получил "хорошо", так как на "отлично" сдало всего 4 человека со всего потока (причем они серьезно изучали программирование еще до поступления в ВУЗ). Я понял, что С++...

Даниил
Сафонов

 
Чтобы программировать, нужно быть усидчивым и очень умным человеком. Я больше гуманитарий, поэтому мне вся эта техническая мысль дается крайне сложно. Но мне понравилось работать с Александром Георгиевичем. Видно, что...

Догаев
Самир

 
Когда я поступил в ВУЗ, то я совсем не умел программировать на С++ и нам сразу стали давать сложные лабораторные, которые мне физически были не под силу. Решил найти репетитора и обратился к Александру Георгиевичу (он...

Потапова
Ирина

 
Спасибо большое вам за помощь. Без вашей поддержки я бы не получила 5-ку на экзамене. Хочу особенно отметить, что на ваших уроках вы даете очень много полезной сопутствующей информации, в том числе и разного рода...

Станислав
Блок

 
Спасибо вам за подготовку. Было очень интересно и познавательно. Программированием заниматься в жизни не буду, т к чувствую, что нужно еще очень многое изучать. Спасибо вам еще раз.

Уфимцев
Сергей

 
Хочется подчеркнуть высокую дисциплину на протяжении всех уроков, понятность объяснения и помощь даже во внеурочное время. Спасибо большое! Буду рекомендовать вас своим знакомым и друзьям))

Коряков
Михаил

 
Когда я начал заниматься с Александром Георгиевичем, у меня уже была довольно сильная база, но мы ее упрочили невероятно сильно дополнительными методиками. Я научился решать наиболее оптимально огромное количество задач...

Леонов
Никос

 
Полученный бал, превзошел все мои ожидания, так как я максимум рассчитывал на 90 баллов тестовых. Думаю, получением столь высокой оценки я обязан репетитору Александру Георгиевичу. Но мой личный вклад тоже не мал!

Волков
Антон

 
Было очень сложно и, оказалось, что я совсем не знал ни Excel, ни C#. Александр Георгиевич подтянул мои знания и вывел их на новый квалитативный уровень. Спасибо вам и успехов!

Богдан
Игнатьев

 
Теперь я чувствую себя уверенно при программировании графических примитивов. Я еще раз убедился, что хороший учитель очень важен для хорошего обучения. В следующем учебном году у нас будет дисциплина "Мультипликация и...

Фролова
Екатерина

 
Я очень довольна, что познакомилась с таким прекрасным преподавателем как  Александр Георгиевич. Все кто хочет повысить свою успеваемость и знания в этой области, обязательно обратитесь...

Юзов
Артур

 
Я благодарен Александру Георгиевичу за его работу со мной. Теперь чувствую себя уверенно при программирование на языке Паскаль. Если у меня в процессе последующего обучения возникнут какие-то проблемы, я обязательно...

Фомин
Глеб

 
Уф, зачет сдан, я очень рад! А все благодаря этому репетитору. Мне понравилось заниматься с Александром, т к на его уроках нет никакой "воды", все четко по делу, серьезно, дисциплинированно. Также мне понравился стиль...

Некрасов
Алексей

 
Спасибо большое за помощь. На ваших уроках всегда высокая дисциплина, очень требовательны и строго проверяете домашнее задание. В целом я получил те знания, которые мне требовались. А вообще с графикой сложно работать,...

Шамшуров
Денис

 
Спасибо вам большое Александр Георгиевич! Вы практически сделали невозможное - натаскали меня к экзамену по программированию, которое я очень плохо понимал до того, как обратился к вам. Хочу отдельно отметить, что урок...

Арапов
Александр

 
Спасибо вам Александр, я планирую в будущем стать профессиональным зарубежным программистом на C# и теперь у меня появилась серьезная база для этого.

Малышев
Евгений

 
В школе никогда не было нормальной информатики, поэтому на первом курсе я столкнулся с большой проблемой. Надо было научится программировать на языке Паскаль. А я даже не знал азы и не представлял что такое...

Калиновский
Илья

 
Как только поступил в ВУЗ, думал, что буду отчислен из-за дисциплины программирования, т к оказалось очень сложной и у меня ничего не получалось. Потом нашел репетитора и вместе с ним научился средне программировать и...
Смотреть все отзывы
 
 
 
 
 
 
Авторизация на сайте
 
 
 
Обнаружили
ошибку на сайте?
Занятия по информатике