Задача №10 (общий размер всех выплат)
 

Другие статьи из рубрики «Финансовая математика»

Содержание:

Не получается успешно решать задачи, где нужно использовать формулу дифференцированных платежей?

Привет! Вы находитесь на персональном сайте профессионального репетитора по математике, информатике, программированию, алгоритмам и базам данных. Моя ключевая компетенция - подготовка школьников $10-11$-ых классов к успешной сдаче ЕГЭ по математике и информатике.

Оказались вы на этой веб-странице не случайно. Очень вероятно, что вы имеете колоссальные проблемы с формулой дифференцированных платежей, я прав? Если, да, то вы попали по адресу!wink Знакомьтесь до конца с материалом, и я гарантирую, что вы однозначно станете сильнее в подобных заданиях.

Я понимаю, что вы достаточно занятой человек, который ценит каждую секунду, но, несмотря на это, я настоятельно рекомендую вам потратить буквально $2-3$ минуты и ознакомиться с отзывами моих подопечных. Все они достигли поставленных целей! У вас тоже получится.

Берите в руки сотовый телефон, набирайте мой контактный номер, дозванивайтесь, обговаривайте все нюансы и записывайтесь на первый пробный урок. Я один, а желающих заниматься со мной предостаточно, поэтому, не упустите свой шанс. Количество ученических мест ограничено.

 

Условие задачи

$15$ января планируется взять кредит в банке на $15$ месяцев.

Условия его возврата таковы:

  • $1$-го числа каждого месяца долг возрастает на $1\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца.

  • Со $2$-го по $14$-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга.

  • $15$-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на $15$-е число предыдущего месяца.

Известно, что восьмая выплата составила $108\ 000$ рублей.

Какую сумму (в миллионах) нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Решение задачи

Внимательно перечитываем постановку задачи и пытаемся найти фразы-маркеры, которые подскажут нам, какую кредитную программу нужно использовать. Напомню, что в заданиях на кредиты из экономического блока ЕГЭ по математике встречаются $2$ принципиально разные схемы выплат:

  • схема дифференцированных платежей;

  • схема аннуитетных платежей.

Данная фраза-маркер "$15$-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на $15$-е число предыдущего месяца" все расставляет по своим местам! Перед нами задача на применение формулы дифференцированных платежей.

Повторяю об этом на каждом уроке и в каждой статье на сайте: для успешного решения задач, ориентированных на дифференцируемые платежи, нужно очень основательно понимать соответствующую математическую модель. Не знакомы с ней? Срочно бегите ее изучать, исследовать. Можете потратить любое количество времени, до тех пор, пока не разберетесь со всеми нюансами.

Давайте введем следующие обозначения:

\(S\) - размер первоначального кредита \(r\) - процентная ставка банка, выраженная в долях \(R = 1 + r\) - для удобства расчетов
\(n\) - общее количество отчетных периодов \(i\) - номер текущего отчетного периода \(\%_{i}\) - размер начисленных банком процентов за конкретный период
\(p_{i}\) - размер платежа за конкретный период \(P\) - общая сумма всех выплат/платежей \(q\) - ставка банка, выраженная в процентах

Эти обозначения являются сквозными во всех моих разборах. Это удобно, и позволяет читателю безболезненно переключаться между решениями, не путаясь в математических преобразованиях.

Из условия вытекает, что:

$n = 15$ $q = 1\%$ $r = \frac{q}{100} = 0.01$ $p_{8} = 108\ 000$, млн.руб.

Наша задача определить $P$, то есть общий размер всех платежей/выплат!

Важно! Если вы хотите получить максимальный балл за решение задачи, где нужно применть формулу дифференцированных платежей, то в своем решении постарайтесь привести вывод соответствующей математической модели. Уже писал выше о том, что, если плохо знакомы с этой моделью, то идите и зубрите ее.

Давайте пристально посмотрим на формулу, которая позволяет получить общий размер всех выплат:

$P = \frac{S\ *\ r\ *\ (n\ +\ 1)}{2} + S$

В этой формуле нам неизвестен размер первоначального кредита, то есть переменная $S$. Следовательно, чтобы продолжить решение, нам нужно воспользоваться следующим ограничением: "восьмая выплата составила $108\ 000$ рублей".

Вспомним, что платеж за любой отчетный период формируется из размера начисленных процентов за данный период и равной части стартовой ссуды:

$p_{i} = \%_{i} + \frac{S}{n}$ - размер $i$-го платежа.

Нам известно, что $p_{8} = 108\ 000$ миллионов рублей.

С другой стороны: $p_{8} = \%_{8} + \frac{S}{15}$.

Чтобы определить объем начисленных банком процентов за $8$ период, снова обратимся к математической модели:

$\%_{8} = \frac{n - 8 + 1}{n} * S * r = \frac{15 - 8 + 1}{15} * S * 0.01 = \frac{8}{15}  * 0.01 * S$

Тогда: $p_{8} = \frac{8}{15} * 0.01 * S + \frac{S}{15}$

Тогда решим уравнение, чтобы определить размер стартового кредита:

$\frac{8}{15} * 0.01 * S + \frac{S}{15} = 108\ 000$ $\:\:\:$ $|*15$

$8 * 0.01 * S + S = 108\ 000 * 15$

$1.08 * S = 108\ 000 * 15$ $\:\:\:$ $|:1.08$

$S = \frac{108\ 000\ *\ 15}{1.08}$

$S = \frac{108\ *\ 1000}{108} * 15 * 100$

$S = 1000 * 15 * 100$

$S = 1\ 500\ 000$, руб. или $1.5$, млн.руб - размер первоначального кредита.

Теперь у нас все готово для того, чтобы рассчитать общий объем всех платежей. Поехали! Не забываем производить расчет в "миллионах",- такое требование в условии задачи.

$P = \frac{S\ *\ r\ *\ (n\ +\ 1)}{2} + S$

$P = \frac{1.5\ *\ 0.01\ *\ (15\ +\ 1)}{2} + 1.5$

$P = \frac{1.5\ *\ 0.01\ *\ 16}{2} + 1.5$

$P = 1.5 * 0.01 * 8 + 1.5$

$P = 12 * 0.01 + 1.5$

$P = 0.12 + 1.5$

$P = 1.62$, млн.руб. - общий размер всех платежей.

Отлично! Результат получен! Но может возникнуть такой вопрос, у некоторых педантичных старшеклассников: "А ответ-то правильный?"indecision Уверен, что, да! И сейчас попробую это доказать.

Для этого я прибегну к первоклассной программе "MS Excel", при помощи которой, сформирую процессинговую таблицу. Вот эта таблица:

Данная таблица чем-то напоминает арифметический способ решения заданий из экономического блока. А вообще, используя значения этой таблицы, можно проводить всесторонний анализ. Четко прослеживаются все арифметические прогрессии, любые размеры сумм и т.п.

Кстати, данная таблица однозначно доказывает, что наше алгебраическое решение, с применением формул дифференцированных платежей, абсолютно правильное.

Ответ: $1.62$

Выводы и рекомендации

Пожалуй, самая главная моя рекомендация - тщательно и скрупулезно изучить математическую модель дифференцируемых платежей. Также выучить все свойства этой модели. Назубок выучить все формулы, которые в этой модели встречаются.

Очень внимательно перечитывайте постановку задачи и не перепутайте тип кредитной программы. Если перепутаете - ответ будет абсолютно неправильным. Следите за фразами-маркерами, в которых зашифрована информация о типе кредитных платежей.

В процессе решения не забудьте привести выкладки математической модели дифференцируемых платежей, а также все формулы дифференцированных платежей в общем виде. Иначе эксперты могут посчитать ваше решение неполным, и, как следствие, снизить итоговый балл.

И старайтесь задания из экономического блока ЕГЭ по математике все-таки решать алгебраическим способом, используя различные формулы и доказательства. Это профессиональный подход, показывающий вашу финансовую квалификацию!

Примеры условий реальных задач, встречающихся на ЕГЭ по математике

Специально для своих учеников и читателей моего сайта, я подготовил список задач из финансового блока ЕГЭ по математике, в которых нужно, так или иначе, использовать формулы дифференцированных платежей.

Попробуйте решить их самостоятельно! Но, если вдруг, будут возникать какие-либо трудности, то смело переходите по ссылке "Перейти к текстовому решению" и знакомьтесь с моим разбором.

Пример №1

В мае планируется взять кредит в банке на сумму \(10\) миллионов рублей на \(5\) лет.
Условия его возврата таковы:

  • Каждый декабрь долг возрастает на \(10\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С января по март каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В мае каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на май предыдущего года.

Сколько миллионов рублей составила общая сумма выплат после погашения банковского кредита?

Перейти к текстовому решению

Пример №2

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(6\) миллионов рублей на некоторый срок.
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(20\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил \(1.8\) миллиона рублей?

Перейти к текстовому решению

Пример №3

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(20\) миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(30\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась \(47\) миллионов рублей?

Перейти к текстовому решению

Пример №4

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(16\) миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(25\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась \(38\) миллионов рублей?

Перейти к текстовому решению

Пример №5

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(6\) миллионов рублей на срок \(15\) лет.
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(q\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Найти \(q\), если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более \(1.9\) миллиона рублей, а наименьший не менее \(0.5\) миллиона рублей.

Перейти к текстовому решению

Пример №6

\(15\) января планируется взять кредит в банке на \(39\) месяцев.
Условия его возврата таковы:

  • \(1-го\) числа каждого месяца долг возрастает на \(q\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца.

  • Со \(2-го\) по \(14-е\) число месяца необходимо выплатить часть долга.

  • \(15-го\) числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на \(15-е\) число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на \(20\%\) больше суммы, взятой в кредит. Найдите \(q\).

Перейти к текстовому решению

Пример №7

Анатолий взял банковский кредит сроком на \(9\) лет. В конце каждого года общая сумма оставшегося долга увеличивается на \(17\%\), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого года, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый год уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину.

Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Анатолием банку (сверх кредита)?

Перейти к текстовому решению

Пример №8

Анна взяла кредит в банке на срок \(12\) месяцев (\(1\) календарный год). В соответствии с банковским договором Анна возвращает кредит банку ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется \(q\%\) этой суммы, и своим ежемесячным платежом Анна погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга.

Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая модель называется "схемой с дифференцированными платежами"). Известно, что общая сумма, выплаченная Анной банку за весь период кредитования, оказалась на \(13\%\) больше, чем сумма, взятая ей в кредит. Найдите процентную ставку банка, то есть \(q\).

Перейти к текстовому решению

Пример №9

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(28\) миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(25\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платеж составит \(9\) миллионов рублей?

Перейти к текстовому решению

Пример №10

\(15\) января планируется взять кредит в банке на \(15\) месяцев.
Условия его возврата таковы:

  • \(1-го\) числа каждого месяца долг возрастает на \(1\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца.

  • Со \(2-го\) по \(14-е\) число каждого месяца необходимо выплатить часть долга.

  • \(15-го\) числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на \(15-е\) число предыдущего месяца.

Известно, что восьмая выплата составила \(108\,000\) рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Перейти к текстовому решению

Все эти задачи на дифференцированные платежи из ЕГЭ по математике решаются достаточно быстро, если вы хорошо знаете, как устроена математическая модель дифференцируемых платежей. Повторю, уже, наверное, раз $10$-ый - разбирайтесь с математической моделью, и будем вам счастье.

Также, время от времени, рекомендую обращаться к этому списку заданий, так как он постоянно обновляется и дополняется, появляются новые условия, а также соответствующие мои математические разборы.

Что-то все равно осталось непонятным? Звоните и записывайтесь на 1-й пробный урок!

Если после прочтения данного материала у вас остались какие-то вопросы, недопонимания, то это некритично, и, даже, вполне логично! Недостаточно пристально рассмотреть одно решение задачи на дифференцированные платежи из ЕГЭ по математике. Нужен комплексный подход!

Я - репетитор-практик, который на своих занятиях, уделяет львиное количество времени конкретным разборам, техникам и эффективным методикам решения. Всевозможной теории полно в глобальной сети Интернет, а экзамен ЕГЭ по математике является практическим, то есть нужно уметь решать, а не знать теоретические изыски.

Мои занятия проходят дистанционно, посредством таких программ, как "Скайп" и "AnyDesk". Подобный формат взаимодействия репетитора с учеником является очень удобным, позволяет задействовать мультимедийные технологии, а также достаточно недорог.

Я достаточно востребованный и известный репетитор по математике и информатике, поэтому, не откладывайте свое решение в долгий ящик. Действуйте прямо сейчас! И не забывайте, что количество ученических мест ограничено, поэтому, завтра свободных мест уже может и не остаться.

 

Отзывы
моих учеников

Шамшуров
Денис

 
Спасибо вам большое Александр Георгиевич! Вы практически сделали невозможное - натаскали меня к экзамену по программированию, которое я очень плохо понимал до того, как обратился к вам. Хочу отдельно отметить, что урок...

Крылов
Антон

 
Я не ожидал, что получу 83 балла, думал, максимум 70, а результат меня ошеломил. Вы просто мастер Александр Георгиевич, выражаю вам благодарность большую.

Миронов
Сергей

 
Очень рад, что поступил в заветный ВУЗ, так как считаю, что именно в этом ВУЗе можно научиться отлично программировать, а репетитор помог мне очень сильно. Было интересно заниматься и сложно. Особенно я целыми часами...

Павленко
Илья

 
Жаль, что я потерял 1 балл)) Александр Георгиевич подготовил меня очень круто. Когда я увидел задания на экзамене, то понял, что я могу решить абсолютно все. На экзамене я не переживал, т к был уверен в собственных...

Пахмутов
Кирилл

 
Я не знаю почему, но так сложилось, что я не смог сходу понять логические преобразования и обратился за помощью к профессиональному репетитору Александру Георгиевичу. Результат превзошел все мои ожидания, я досконально...

Трунин
Сергей

 
На редкость сильный репетитор, абсолютно компетентен в преподаваемом предмете, знает язык программирования Turbo Pascal просто "насквозь". Было интересно заниматься и очень познавательно, так как в школе мы ничего этого...

Волков
Павел

 
Спасибо вам большое. Да, курсовая была непростой, но я сдал ее на 5-ку. Хочу отметить атмосферу проводимых уроков: во-первых, мы занимались в чистой и опрятной комнате, во-вторых, на уроке стоит здоровая учебная...

Коваленко
Всеволод

 
Хочу отметить дисциплину на уроках, я чувствовал себя как на официальной паре, никаких шуток и панибратств. Очень понравилось серьезное отношение к дисциплине, т к я сам челвоек дисциплинированный. Спасибо вам!

Фрунзе
Яна

 
На самом деле я очень счастлива, что получила четыре на экзамене. Я так боялась того, что меня отчислят из-за этого предмета, но мои страхи были напрасными. Благодаря профессионализму Александра Георгиевича, его...

Богдан
Игнатьев

 
Теперь я чувствую себя уверенно при программировании графических примитивов. Я еще раз убедился, что хороший учитель очень важен для хорошего обучения. В следующем учебном году у нас будет дисциплина "Мультипликация и...

Евдокимов
Максим

 
Не думал, что смогу получить 91 балл на ЕГЭ, но у меня получилось, благодаря методикам моего репетитора. Очень понятно объясняет, особенно нюансы, в которых я всегда путался и ленился разбираться.

Уфимцев
Сергей

 
Хочется подчеркнуть высокую дисциплину на протяжении всех уроков, понятность объяснения и помощь даже во внеурочное время. Спасибо большое! Буду рекомендовать вас своим знакомым и друзьям))

Корелов
Дмитрий

 
Нравится заниматься программированием с Александром Георгиевичем, сейчас уже точно уверен, что буду программистом на одном из лучших современных языков программирования.

Минаев
Сергей

 
Выражаю благодарность за добросовестную подготовку к успешной сдаче ЕГЭ по информатике и ИКТ. Особенно хочется отметить подход репетитора к работе, видно, что ему тоже интересно совместно со мной решать эти задачи, он...

Белов
Антон

 
Заниматься очень понравилось, преподаватель прекрасно знает преподаваемый материал. Многое узнал дополнительно, задавал много смежных вопросов и получал профессиональные ответы. Также понравилось, что в процессе урока...

Волков
Антон

 
Было очень сложно и, оказалось, что я совсем не знал ни Excel, ни C#. Александр Георгиевич подтянул мои знания и вывел их на новый квалитативный уровень. Спасибо вам и успехов!

Воробьев
Станислав

 
Я очень рад, что оказался в учениках у Александра Георгиевича. У меня были огромные пробелы в знаниях, связанных со строками, подпрограммами, рекурсией. Думал, что провалю экзамен и буду отчислен, но сдал экзамен на...

Иванов
Денис

 
Очень много нового узнал о ДС, Александр Георгиевич показал несколько способов построения бинарного дерева, а также реализацию функций повышенного уровня сложности. Когда шел на экзамен, то абсолютно не волновался, так...

Станислав
Блок

 
Спасибо вам за подготовку. Было очень интересно и познавательно. Программированием заниматься в жизни не буду, т к чувствую, что нужно еще очень многое изучать. Спасибо вам еще раз.

Сема
Катерина

 
Я очень рада, что нашла такого толкового репетитора-практика, который не только хорошо знает теоретическую часть языка программирования С, но и имеет шикарную базу для реализации различных курсовых работ для таких...


Маслова

 
Я очень долго искала профессионального репетитора, который знает не только азы Паскаля, а также хорошо разбирается в динамических структурах данных. Очень рада, что Александр Георгиевич оказался замечательным...

Некрасов
Алексей

 
Спасибо большое за помощь. На ваших уроках всегда высокая дисциплина, очень требовательны и строго проверяете домашнее задание. В целом я получил те знания, которые мне требовались. А вообще с графикой сложно работать,...

Юзов
Артур

 
Я благодарен Александру Георгиевичу за его работу со мной. Теперь чувствую себя уверенно при программирование на языке Паскаль. Если у меня в процессе последующего обучения возникнут какие-то проблемы, я обязательно...
Смотреть все отзывы
 
 
 
 
 
 
Авторизация на сайте
 
 
 
Обнаружили
ошибку на сайте?
Занятия по информатике