Что необходимо знать о дифференцированном платеже, чтобы успешно решать задачи на ЕГЭ по математике
 

Содержание:

Давайте знакомиться. Я тот репетитор, который сделает из вас чемпиона в сфере информатики и математики

Всех приветствую! Меня зовут Александр Георгиевич. Я профессиональный репетитор по математике, информатике, базам данных, программированию и алгоритмам. Уже на протяжении свыше \(10\) лет я оказываю фундаментальную помощь школьникам при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ по математике и информатике, а студентов обучаю современным востребованным и актуальным языкам программирования.

Я понимаю, что вы крайне занятой человек, но, несмотря на это, настоятельно рекомендую вам потратить несколько минут собственного времени и ознакомиться с отзывами клиентов, прошедших под моим чутким контролем подготовку. Все они достигли поставленных целей. Вы тоже сможете достичь своих целей при правильном подходе к обучению.

Также ко мне за помощью регулярно обращаются студенты, у которых возникают трудности с реализацией всевозможных работ по программированию на таких языках программирования, как C («чистый» СИ), С++, С#, Pascal. Предлагаю вашему вниманию мультимедийную презентацию, в которой я коротко и доступно поясняю все моменты нашего взаимовыгодного сотрудничества.

Обратите внимание на комментарии под данным видео. Это отзывы моих довольных клиентов.

Разумеется, что я не знаю ваших финансовых возможностей, поэтому специально для вас я разработал многофакторную систему, которая предлагает моим потенциальным клиентам \(144\) варианта взаимовыгодного сотрудничества. Даже самый притязательный потребитель сумеет подобрать тот вариант, который полностью удовлетворит его финансовые ограничения.

Не забывайте о том, что я достаточно востребованный репетитор, поэтому не откладывайте свое решение о записи ко мне на частную подготовку в долгий ящик, а действуйте незамедлительно. Берите сотовый телефон, набирайте мой контактный номер и записывайтесь на первый пробный урок!

Общее понятие о банковском кредите

Современная школьная математика не стоит на месте, а претерпевает поступательные изменения. В настоящий момент времени каждый одиннадцатиклассник, которому в обязательном порядке предстоит сдача ЕГЭ по математике, должен иметь устойчивые базовые знания в области финансовой математики. В частности понимать, что такое банковский кредит и вклад.

Банковский кредит – определенная сумма денег, выдаваемая банком, которую получает заемщик под определенный процент за пользование данной суммой.

Суммы, выдаваемые банком, имеют широчайший диапазон охвата  –  от нескольких тысяч рублей до сотен миллионов долларов. Также разнится и процентная ставка на выдаваемые ссуды.

В целом нужно понимать, что финансовые институты (банковские структуры) по факту существуют лишь по той причине, что им удается зарабатывать за счет денег, которые переплачивает заемщик. Ведь каждое лицо (физическое или юридическое) всегда несет переплату по взятому кредиту.

Помимо того, что заемщик полностью выплатит взятый кредит, он также дополнительно заплатит сумму денег, которая «накапала» за счет влияния процентной ставки.

Мое личное мнение: банковский кредит – зло, которое нужно избегать до последней возможности, и прибегать к кредитованию следует лишь в исключительных ситуациях. Повышайте финансовую грамотность, чтобы здраво оценивать решения по взятию кредитов на какие-либо нужды.

Понятие дифференцированного платежа

Среди разделов математики, которые необходимо знать для успешной сдачи ЕГЭ, встречается раздел «Финансовая математика». Зачастую школьники не предполагают, решая ту или иную задачу, что данная задача акцентирована на понимании дифференцированного платежа.

Модель дифференцированного платежа практически на \(100\%\) связана с банковским кредитом, так как эта модель платежа подразумевает выплату кредита особым образом.

Давайте смоделируем ситуацию: мы взяли кредит на \(480\,000\) рублей, сроком на \(1\) год с ежемесячной выплатой, процентная ставка банка равна \(5\%\). Конечная цель – узнать, какую сумму мы в итоге заплатим банку, после погашения всего кредита.

Да, это лишь модель, и в реальной жизни подобная ситуация маловероятна, так как это «обдираловка» со стороны банка. Никакой заемщик, будучи в здравом уме и трезвой памяти, не будет ввязываться в такую закредитованность.

Хочу добавить, что сейчас проводится обобщенное исследование модели дифференцированного платежа, но мы пока не касаемся правильных методик и приемов, позволяющих максимально эффективно решать ЕГЭшные задачи подобного плана.

Также утвердим схему платежа – дифференцированный платеж. То есть мы, как заемщик, будем выплачивать в процессе всего срока кредитования суммы денег, которые подчиняются данной схеме.

При расчете дифференцированного платежа общая сумма первоначального кредита делится на абсолютно равные части. Как правило, количество частей равно количеству проводимых платежей. В нашем примере тело стартового кредита будет разбито на \(12\) долей, так как был взят кредит сроком на \(1\) год, а, как известно, один календарный год состоит из \(12\) месяцев.

Ежемесячно в течение всего срока погашения кредита мы будем выплачивать банку ровно одну часть основного долга плюс начисленные на его остаток проценты.

Вообще, сразу хочу заметить, что в конечном итоге нам придется заплатить банку сумму, которую грубо можно разбить на \(2\) составляющих.

<Общая выплата по кредиту> = <Тело кредита> + <Начисленные банком проценты>

Это очень важная формула, и надо постараться фундаментально ее понять, так как на ее понимании строится решение очень многих школьных задач из раздела «Финансовая математика».

Из этой формулы вытекает умозаключение о том, что в итоге мы переплатим банку ту сумму, которая будет равна начисленным процентам по взятой ссуде. Это именно та часть денег, которую банк дополнительно получает с лиц, которым выдает кредиты, за пользование этими кредитами.

Но необходимо понимать и не путать следующее: «разбитый» кредит – фактически тот же самый первоначальный кредит. Это одна и та же сумма денег. Просто при исследовании дифференцированного платежа для более глубокого понимания требуется разбиение первоначальной суммы на необходимое количество частей.

Давайте для удобства договоримся о том, что кредит мы взяли \(1\) сентября, банк начисляет свой процент в предпоследний день каждого месяца, а платеж мы проводим в последний день месяца. Небольшое дополнение: год не является високосным.

Итак, наступило \(29\) сентября (это предпоследний день данного месяца), следовательно, банк производит начисление процентов на текущий объем кредита. Фактически проценты начисляются на первоначальный кредит, так как нами еще ни один платеж не был проведен. Напомню, что процентная ставка банка составляет ровно \(5\%\).

<Сумма долга> = <Сумма долга> + <Процентное начисление>

На текущий момент <Сумма долга> составляет \(480\,000\) рублей. Рассчитаем <Процентное начисление>. В данной статье я не буду приводить формулы, используя которые можно получать процентные начисления, а сразу произведу необходимые выкладки.

<Процентное начисление> = <Сумма долга> <Процентная ставка, выраженная в долях>
<Процентное начисление> = \(480\,000 • 0.05 = 24\,000\) рублей

То есть банк к нашему исходному кредиту-долгу добавляет \(24\,000\) рублей. В итоге «новая» сумма долга составит:

<Новая сумма долга> = \(480\,000 + 24\,000 = 504\,000\) рублей. То есть мы первоначально взяли ссуду на сумму в \(480\,000\) рублей, а в предпоследний день сентября она стала \(504\,000\) рублей. Так работают все кредитные модели. Приходится в итоге всегда переплачивать!

Наступило \(30\) сентября (последний день данного месяца), и пришла пора проводить первый платеж. Сколько мы должны заплатить банку? Ответ лежит на поверхности, если есть понимание принципа работы дифференцированного платежа.

Во-первых, мы должны погасить объем начисленных процентов. Это как минимум! Иначе тело кредита будет возрастать, и мы никогда физически не сможем погасить нашу задолженность.

Во-вторых, мы должны погасить одну часть стартового кредита. Поскольку кредитный период длится \(12\) месяцев, то первоначальный кредит дифференцирован (вообще, слово "дифференцировать" означает расчленять, разделять) на \(12\) кусков/частей. То есть нам следует проплатить \(1/12\) часть от взятого кредита.

Подытожим формулой:

<Размер 1-го платежа> = <Сумма начисленных процентов> + <Одна часть первоначального кредита>
<Размер 1-го платежа> = \(24\,000 + 1/12 • 480\,000 = 24\,000 + 40\,000 = 64\,000\) рублей

Сумма внушительная! Но это одно из свойств дифференцированного платежа. Первый платеж является наиболее объемным. Последующие платежи пойдут на уменьшение. С позиции психологии для заемщика наиболее трудными выплатами являются первые, но зато под конец срока кредитования сумма платежа значительно сократится.

Что мы имеем в итоге по телу кредита. Мы были должны банку после начисления процентов \(504\,000\) рублей, затем провели платеж на сумму \(64\,000\) рублей, следовательно, текущий долг составит:

<Текущий долг по кредиту> = \(504\,000 – 64\,000 = 440\,000\) рублей

Первоначальный кредит в размере \(480\,000\) рублей уменьшился ровно на \(1/12\) часть! Это очень важно понимать в алгоритме расчета дифференцированного платежа.

С первой выплатой мы разобрались! Сейчас я также детально покажу расчеты, связанные со второй выплатой, а затем приведу исключительно математические выкладки, так как схема построения платежа является одинаковой во всех случаях.

Итак, наступило \(30\) октября (это предпоследний день данного месяца), следовательно, банк производит начисление процентов на текущий объем кредита. Фактически, проценты начисляются на \(11/12\) от первоначального кредита (\(440\,000\) рублей), так как нами уже один платеж был проведен.

<Сумма долга> = <Сумма долга> + <Процентное начисление>

На текущий момент <Сумма долга> составляет \(440\,000\) рублей. Рассчитаем <Процентное начисление>. Процентная ставка банка от месяца к месяцу не варьируется и составляет все те же \(5\%\).

<Процентное начисление> = <Сумма долга> • <Процентная ставка, выраженная в долях>
<Процентное начисление> = \(440\,000 • 0.05 = 22\,000\) рублей

То есть банк к нашему текущему кредиту-долгу добавляет \(22\,000\) рублей. В итоге «новая» сумма долга составит:

<Новая сумма долга> = \(440\,000 + 22\,000 = 462\,000\) рублей

Наступило \(31\) октября (последний день данного месяца), и пришла пора проводить второй платеж. Сколько мы должны заплатить банку? Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся алгоритмом, который мы применяли в процессе расчетов при первом платеже.

Во-первых, мы должны погасить объем начисленных процентов. Это как минимум! Иначе тело кредита будет возрастать, и мы никогда физически не сможем погасить нашу задолженность.

Во-вторых, мы должны погасить одну часть стартового кредита. Поскольку кредитный период длится \(12\) месяцев, то первоначальный кредит дифференцирован на \(12\) кусков/частей. То есть нам следует проплатить \(1/12\) часть от взятого кредита.

Подытожим формулой:

<Размер 2-го платежа> = <Сумма начисленных процентов> + <Одна часть первоначального кредита>
<Размер 2-го платежа> = \(22\,000 + 1/12 • 480\,000 = 22\,000 + 40\,000 = 62\,000\) рублей

Сумма опять внушительная, но уже меньше на \(2\,000\) рублей по сравнению с первым траншем!

Что мы имеем в итоге по телу кредита. Мы были должны банку после начисления процентов \(462\,000\) рублей, затем провели платеж на сумму \(62\,000\) рублей, следовательно, текущий долг составит:

<Текущий долг по кредиту> = \(462\,000 – 62\,000 = 400\,000\) рублей

Текущий кредит в размере \(440\,000\) рублей снова уменьшился ровно на \(1/12\) часть от первоначального кредита, то есть снизился на \(40\,000\) рублей! Анализ построения \(2-го\) платеж закончен.

Дальнейшие расчеты я сведу в аналитическую таблицу, которая отразит все изменения и начисления. Также в эту таблицу я внесу абсолютно все выкладки, учитывая и \(1-й\), и \(2-й\) платеж. Внимательно изучите эту таблицу!

№ платежа

Текущий долг перед банком, рублей

Сумма начисленных процентов, рублей

Сумма платежа, рублей

«Новый» долг перед банком, рублей

1

480 000

24 000
(29 сентября)

64 000
(30 сентября)

440 000

2

440 000

22 000
(30 октября)

62 000
(31 октября)

400 000

3

400 000

20 000
(29 ноября)

60 000
(30 ноября)

360 000

4

360 000

18 000
(30 декабря)

58 000
(31 декабря)

320 000

5

320 000

16 000
(30 января)

56 000
(31 января)

280 000

6

280 000

14 000
(27 февраля)

54 000
(28 февраля)

240 000

7

240 000

12 000
(30 марта)

52 000
(31 марта)

200 000

8

200 000

10 000
(29 апреля)

50 000
(30 апреля)

160 000

9

160 000

8 000
(30 мая)

48 000
(31 мая)

120 000

10

120 000

6 000
(29 июня)

46 000
(30 июня)

80 000

11

80 000

4 000
(30 июля)

44 000
(31 июля)

40 000

12

40 000

2 000
(30 августа)

42 000
(31 августа)

0

В самой нижней правой ячейке фигурирует число \(0\) – это означает, что кредит полностью выплачен/погашен. Анализируя информацию из приведенной таблицы, нетрудно заметить определенную тенденцию, и, скорее всего, даже не одну! Бросается в глаза разница между первым и последним платежом. Да, это одно из свойств дифференцированного платежа.

Также замечательно прослеживается динамика изменения объема выплаты, причем динамика не только убывающая, но и подчиняется арифметической прогрессии с отрицательным шагом.

На своих частных уроках я очень детально объясняю подобные закономерности и показываю методики, позволяющие их выявлять.

Но вернемся к вопросу, поставленному в условии задачи! Вопрос звучал так: какую сумму мы в итоге заплатим банку после погашения всего кредита?

Чтобы ответить на этот вопрос, нам достаточно просуммировать значения из колонки «Сумма начисленных процентов, рублей» и затем к этой величине приплюсовать первоначальный кредит. Существуют очень эффективные методики подобных вычислений, но я приведу решение в лоб:

<Общая сумма всех платежей> = \(24\,000 + 22\,000 + … + 4\,000 + 2\,000 + 480\,000 = 156\,000 + 480\,000 = 636\,000\) рублей

Это ответ на поставленный вопрос.

Краткий вывод: общая сумма переплат  \(156\,000\) рублей, что составляет \(32.5\%\) от первоначального тела кредита. Разумеется, банковский кредит на таких условиях крайне невыгоден заемщику. Но мы рассматривали лишь общую модель дифференцированного платежа. Не забывайте об этом!

Характеристики дифференцированного платежа

Сейчас я предлагаю вашему вниманию ключевые маркеры, которыми характеризуется дифференцированный платеж.

  1. Тело первоначального кредита уменьшается равными долями, количество которых совпадает с количеством платежей (платежи проводятся еженедельно, ежемесячно, ежегодно и т. п.).

  2. Первая кредитная выплата является наибольшей из всех выплат, а последняя, соответственно, наименьшей.

  3. При построении математической модели дифференцированного платежа на «полную катушку» включается механизм арифметической прогрессии, который нужно суметь заметить.

  4. Суммы всех выплат различны, то есть размер каждой выплаты отличается от всех остальных.

  5. Современная банковская система крайне редко предлагает своим клиентам схему дифференцированного платежа, так как она наиболее выгодна заемщику, нежели банку.

Примеры условий реальных задач, встречающихся на ЕГЭ по математике

В данном разделе я приведу лишь условия некоторого количества задач, которые наиболее часто встречаются на официальном экзамене ЕГЭ по математике. В каждой из задач акцентировано внимание на модели дифференцированного платежа, и только на нем.

А ведь существует масса комбинированных финансовых задач, в процессе решения которых дифференцированный платеж занимает лишь какую-то часть решения. Все подобные задачи я разбираю со своими учениками на частных занятиях.

Пример №1

В мае планируется взять кредит в банке на сумму \(10\) миллионов рублей на \(5\) лет.
Условия его возврата таковы:

  • Каждый декабрь долг возрастает на \(10\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С января по март каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В мае каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на май предыдущего года.

Сколько миллионов рублей составила общая сумма выплат после погашения банковского кредита?

Пример №2

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(6\) миллионов рублей на некоторый срок.
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(20\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил \(1.8\) миллиона рублей?

Пример №3

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(20\) миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(30\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась \(47\) миллионов рублей?

Пример №4

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(16\) миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(25\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась \(40\) миллионов рублей?

Пример №5

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(6\) миллионов рублей на срок \(15\) лет.
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(r\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Найти \(r\), если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более \(1.9\) миллиона рублей, а наименьший не менее \(0.5\) миллиона рублей.

Пример №6

\(15\) января планируется взять кредит в банке на \(39\) месяцев.
Условия его возврата таковы:

  • \(1-го\) числа каждого месяца долг возрастает на \(r\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца.

  • Со \(2-го\) по \(14-е\) число месяца необходимо выплатить часть долга.

  • \(15-го\) числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на \(15-е\) число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на \(20\%\) больше суммы, взятой в кредит. Найдите \(r\).

Пример №7

Анатолий взял банковский кредит сроком на \(9\) лет. В конце каждого года общая сумма оставшегося долга увеличивается на \(17\%\), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого года, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый год уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину.

Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Анатолием банку (сверх кредита)?

Пример №8

Анна взяла кредит в банке на срок \(12\) месяцев (\(1\) календарный год). В соответствии с банковским договором Анна возвращает кредит банку ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется \(r\%\) этой суммы, и своим ежемесячным платежом Анна погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга.

Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая модель называется "схемой с дифференцированными платежами"). Известно, что общая сумма, выплаченная Анной банку за весь период кредитования, оказалась на \(13\%\) больше, чем сумма, взятая ей в кредит. Найдите процентную ставку банка, то есть \(r\).

Пример №9

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(28\) миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(25\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платеж составит \(9\) миллионов рублей?

Пример №10

\(15\) января планируется взять кредит в банке на \(15\) месяцев.
Условия его возврата таковы:

  • \(1-го\) числа каждого месяца долг возрастает на \(1\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца.

  • Со \(2-го\) по \(14-е\) число каждого месяца необходимо выплатить часть долга.

  • \(15-го\) числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на \(15-е\) число предыдущего месяца.

Известно, что восьмая выплата составила \(108\,000\) рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Вы, наверное, удивитесь, но приведенные задачи решаются достаточно просто, если у вас присутствует детальнейшее понимание анатомии дифференцированного платежа. Я даже скажу больше, ответы для некоторых из приведенных мною задач можно посчитать в уме, не прибегая к каким-либо записям и вычислениям на бумаге/компьютере.

Хотите научиться безошибочно решать подобный класс упражнений? Тогда записывайтесь ко мне на индивидуальную подготовку! Я – репетитор-практик, и главная цель моих занятий  выработать у вас навыки успешного решения экономических задач.

Остались вопросы, недопонимание? Записывайтесь ко мне на частные уроки!

В данной обзорной статье я балансировал между обобщенными сведениями, касающимися дифференцированного платежа, и конкретным разбором «боевой» задачи.

Разумеется, требуется прорешать минимум с десяток задач подобного класса, чтобы фундаментально прочувствовать квинтэссенцию схемы дифференцированного платежа, осознать суть математической модели.

На своих уроках я с учениками решаю задачи из раздела «Финансовая математика» абсолютно различной сложности. Начинаем с обзора элементарных задач на простые проценты и заканчиваем разбором цен на акции, находящиеся в портфеле у управляющего финансового менеджера. Регулярно приходится разбирать задачи на дифференцированный платеж олимпиадного уровня сложности, где стандартные модели перестают работать.

Чтобы записаться ко мне на частные уроки, берите сотовый телефон, дозванивайтесь до меня, задавайте любые интересующие тематические вопросы и записывайтесь на первый пробный урок.

Схема дифференцированного платежа будет крайне полезна всем школьникам, планирующим стать экономистами или связать свою трудовую деятельность с работой на фондовой бирже/рынке.

В любом случае и наука «Финансовая математика» в общем, и модель расчета погашения кредита дифференцированными платежами в частности может пригодиться вообще любому человеку, планирующему закредитоваться.

И не забывайте, что на официальном экзамене  ЕГЭ по математике вам гарантированно попадется экономическая задача, и вероятность того, что она будет ориентирована на дифференцированный платеж, крайне высока!

 
 
 
 
 
Авторизация на сайте
 
 
 
Обнаружили
ошибку на сайте?
Занятия по информатике