Задача №3 (определение срока кредитования)
 

Содержание:

Плохо понимаете, как решать экономические задачи на дифференцированные платежи?

Приветствую! Меня зовут Александр и мне 35+ лет. Я - профессиональный репетитор по математике, информатике и программированию. Двумя словами - я матерый технарь. smiley Сфера моих интересов - исследование математических моделей, применяемых в задачах экономического блока, встречающихся на официальном экзамене ЕГЭ по математике.

Да, я прекрасно понимаю, что вы чрезвычайно занятой человек и имеете в настоящий момент кучу неотложных дел, но, несмотря на это, я все-таки рекомендую потратить $2$ минуты собственного времени и познакомиться с отзывами учеников, прошедших подготовку под моим началом.

Экономические задачи на дифференцированные платежи - очень популярный тип задач, которые дают решать на ЕГЭ по математике. Если вы плохо понимаете, что такое схема дифференцированных платежей, но хотите в этом разбираться на первоклассном уровне, то берите в руки телефон, набирайте мой контактный номер и записывайтесь на первый пробный урок.

Мои частные уроки проходят в различных территориальных форматах: дистанционно, на моей/вашей/нейтральной территории. Но в настоящий момент времени бешеную популярность имеет удаленный формат, посредством, например, программы "Скайп". И вам рекомендую остановиться именно на этом формате. $90\%$ моих учеников предпочитают именно его. Это удобно, эффективно и недорого!

Условие задачи

В июле планируется взять кредит в банке на сумму $20$ миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на $30\%$ по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась $47$ миллионов рублей?

Решение задачи

Как бы решал и анализировал эту задачу я. Во-первых, нужно определить, какой тип кредитования здесь применяется. Фундаментально типы можно разделить на $2$ следующих: платежи идут по дифференцированной схеме, и платежи происходят по аннуитетной схеме.

В приведенном условии присутствуют маркеры, которые позволяют однозначно определить, к какому типу кредитования относится эта задача. Давайте обратимся к следующей фразе: "В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года". Все встало на свои места! Перед нами экономическая задача на дифференцированные платежи.

Если для вас данная фраза не является информирующей, значит, вы плохо знакомы с математической моделью, свойствами и признаками дифференцированных платежей. Поэтому, во-вторых, я просто строго настаиваю на том, чтобы вы потратили необходимое количество времени и внимательнейшим образом познакомились с понятием дифференцированных платежей. Даже, если имеете какое-то представление, то повторение не станет лишним.

Давайте введем следующие обозначения:

\(S\) - размер первоначального кредита \(r\) - процентная ставка банка, выраженная в долях \(R = 1 + r\) - для удобства расчетов
\(n\) - общее количество отчетных периодов \(i\) - номер текущего отчетного периода \(\%_{i}\) - размер начисленных банком процентов за конкретный период
\(p_{i}\) - размер платежа за конкретный период \(P\) - общая сумма всех выплат/платежей \(q\) - ставка банка, выраженная в процентах

Эти обозначения я использую практически в каждой экономической задаче на дифференцированные платежи. Это делает решения унифицированными и позволяет читателю переключаться между примерами, не теряя сути математических формул, за минимальное время.

Из условия вытекает, что:

$S = 20$, млн. рублей $q = 30\%$ $r = \frac{q}{100} = \frac{30}{100} = 0.3$ $P = 47$, млн. рублей

Кстати, сразу бросается в глаза бешеная процентная ставка банка! Она слишком оторвана от реальности. Адекватная кредитная банковская ставка находится в районе $12 - 18\%$ годовых. Повторяю и буду повторять, что банковские займы - дело неправильное и их следует избегать.

Сейчас продемонстрирую решение, на которое мне потребовалось бы потратить не более $2$-х минут. Если бы я сдавал ЕГЭ по математике. Почему так быстро? Да потому, что здесь включается самая важная формула, которая выводилась нами, при построении математической модели дифференцированных платежей.

Кстати, вот эта формула: $P = \frac{S\ *\ r\ *\ (n + 1)}{2} + S$. Если не узнали ее, то это плохо. Нужно срочно изучать математическую модель, используемую в решениях экономических задач на дифференцированные платежи.

А ведь, что характерно, это будет единственная формула, которая нам потребуется для оптимального решения и получения молниеносного ответа. Разве нет? Ведь в этой зависимости нам известно все, кроме переменной $n$. А эта $n$ и есть ни что иное, как искомая величина, которая выражает количество отчетных периодов или общее время кредитования.

Подставляем известные в уравнение и получаем ответ!

$P = \frac{S\ *\ r\ *\ (n + 1)}{2} + S$

$47 = \frac{(20\ *\ 0.3\ *\ (n\ +\ 1)}{2} + 20$  $| *2$

$47 * 2 = 6 * (n + 1) + 20 * 2$

$6 * (n + 1) = 94 - 40$

$6 * (n + 1) = 54$

$n + 1 = \frac{54}{6}$

$n + 1 = 9$

$n = 9 - 1$

$n = 8$.

Готово! Быстро? А то! Сложно? Нет, достаточно знать лишь одну математическую зависимость и уметь решать линейные уравнения. То есть период кредитования должен составлять ровно $8$ лет, чтобы выполнились все требования и ограничения, указанные в постановке задачи.

Вроде получили ответ и все замечательно, но остается момент, связанный с тем, а правильный ли он? С высоченной вероятностью, что, да! Но я все-таки хочу провести доказательство правильности ответа через таблицу, сформированную в великолепной программе "MS Excel". Кстати, такие доказательные таблицы я получаю постоянно на своих частных уроках.

Данная таблица отражает все банковские операции, возникавшие в процессе кредитования. Ее структура очень наглядна. Четко прослеживается изменение тела взятой ссуды, также удобно анализировать размер платежа и размер начисляемых процентов. Всем рекомендую делать подобную верификацию полученного результата.

Ответ: 8.

Выводы

Пожалуй, можно сделать лишь один вывод: необходимо глубоко понимать математическую модель, применяемую в процессе решения экономических задач на дифференцированные платежи. Остальное дело техники и базовых математических знаний. Ну, надеюсь, что решать линейные уравнения каждый из вас умеет. wink

И повторюсь уже в который раз - изучайте до посинения математическую модель дифференцируемых платежей. Ссылку на эту статью я оставлял выше. Ну, ладно, так уж и быть, продублирую ее еще раз: математическая модель экономических задач на дифференцированный платеж.

Если будут трудности с пониманием того, как функционально работает схема дифференцируемых платежей, тогда записывайтесь ко мне на индивидуальную подготовку. На уроке мы с вами детально разберем все тонкости и краеугольные камни этой, уж не такой и простой, модели.

Примеры условий реальных задач, встречающихся на ЕГЭ по математике

В данном разделе я приведу лишь условия некоторого количества задач, которые наиболее часто встречаются на официальном экзамене ЕГЭ по математике. В каждой из задач акцентировано внимание на модели дифференцируемого платежа, и только на нем.

А ведь существует масса комбинированных финансовых задач, в процессе решения которых дифференцируемый платеж занимает лишь какую-то часть решения. Все подобные задачи я разбираю со своими учениками на индивидуальных занятиях.

Пример №1

В мае планируется взять кредит в банке на сумму \(10\) миллионов рублей на \(5\) лет.
Условия его возврата таковы:

  • Каждый декабрь долг возрастает на \(10\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С января по март каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В мае каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на май предыдущего года.

Сколько миллионов рублей составила общая сумма выплат после погашения банковского кредита?

Перейти к текстовому решению

Пример №2

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(6\) миллионов рублей на некоторый срок.
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(20\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил \(1.8\) миллиона рублей?

Перейти к текстовому решению

Пример №3

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(20\) миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(30\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась \(47\) миллионов рублей?

Перейти к текстовому решению

Пример №4

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(16\) миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(25\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась \(38\) миллионов рублей?

Перейти к текстовому решению

Пример №5

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(6\) миллионов рублей на срок \(15\) лет.
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(q\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Найти \(q\), если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более \(1.9\) миллиона рублей, а наименьший не менее \(0.5\) миллиона рублей.

Перейти к текстовому решению

Пример №6

\(15\) января планируется взять кредит в банке на \(39\) месяцев.
Условия его возврата таковы:

  • \(1-го\) числа каждого месяца долг возрастает на \(q\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца.

  • Со \(2-го\) по \(14-е\) число месяца необходимо выплатить часть долга.

  • \(15-го\) числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на \(15-е\) число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на \(20\%\) больше суммы, взятой в кредит. Найдите \(q\).

Перейти к текстовому решению

Пример №7

Анатолий взял банковский кредит сроком на \(9\) лет. В конце каждого года общая сумма оставшегося долга увеличивается на \(17\%\), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого года, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый год уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину.

Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Анатолием банку (сверх кредита)?

Перейти к текстовому решению

Пример №8

Анна взяла кредит в банке на срок \(12\) месяцев (\(1\) календарный год). В соответствии с банковским договором Анна возвращает кредит банку ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется \(q\%\) этой суммы, и своим ежемесячным платежом Анна погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга.

Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая модель называется "схемой с дифференцированными платежами"). Известно, что общая сумма, выплаченная Анной банку за весь период кредитования, оказалась на \(13\%\) больше, чем сумма, взятая ей в кредит. Найдите процентную ставку банка, то есть \(q\).

Перейти к текстовому решению

Пример №9

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(28\) миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(25\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платеж составит \(9\) миллионов рублей?

Перейти к текстовому решению

Пример №10

\(15\) января планируется взять кредит в банке на \(15\) месяцев.
Условия его возврата таковы:

  • \(1-го\) числа каждого месяца долг возрастает на \(1\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца.

  • Со \(2-го\) по \(14-е\) число каждого месяца необходимо выплатить часть долга.

  • \(15-го\) числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на \(15-е\) число предыдущего месяца.

Известно, что восьмая выплата составила \(108\,000\) рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Перейти к текстовому решению

Не удивляйтесь, но приведенные экономические задачи на дифференцированные платежи решаются достаточно легко, если у вас присутствует детальнейшее понимание анатомии дифференцируемого платежа. Даже скажу больше, ответы на некоторые из представленных мною задач можно посчитать в уме, не прибегая к каким-либо записям и вычислениям на бумаге/компьютере.

Хотите научиться безошибочно решать подобный класс упражнений из экономического блока ЕГЭ по математике? Тогда записывайтесь ко мне на индивидуальную подготовку! Я – репетитор-практик с многолетним стажем, и главная цель моих занятий  выработать у вас навыки успешного решения экономических задач любого типа и любой сложности.

Хотите разбираться в экономических задачах на дифференцированные платежи? Тогда жду вас на уроке!

Если после прочтения данной статьи в вашей голове не все разложилось по нужным полочкам, значит, не все моменты вы уловили в процессе решения. Это не критично! Достаточно сложно стать профессиональным решателем, разбирая лишь готовые примеры. Нужно в обязательном порядке заниматься собственноручным прорешиванием.

Моя задача, как репетитора по математике, составить для вас индивидуальную программу подготовки, ориентированную на экономические задачи на дифференцированные платежи. Поэтому, если хотите стать асом в подобных задачах, то звоните мне по номеру, который опубликован в шапке данного сайта, и записывайтесь на $1$-е пробное занятие.

Я сугубо репетитор-практик, посвящающий львиную долю урока, разбору конкретных заданий. Минимум воды и максимум решений - вот мой девиз! Именно поэтому, превалирующее число моих подопечных получают высоченные баллы на официальных экзаменах ЕГЭ по математике и информатике.

И помните о том, что я достаточно востребованный репетитор, а количество учебных мест ограничено. Действуйте прямо сейчас, не откладывая принятия решения в долгий ящик.

 

Отзывы
моих учеников

Иванов
Денис

 
Очень много нового узнал о ДС, Александр Георгиевич показал несколько способов построения бинарного дерева, а также реализацию функций повышенного уровня сложности. Когда шел на экзамен, то абсолютно не волновался, так...

Арапов
Александр

 
Спасибо вам Александр, я планирую в будущем стать профессиональным зарубежным программистом на C# и теперь у меня появилась серьезная база для этого.

Станислав
Блок

 
Спасибо вам за подготовку. Было очень интересно и познавательно. Программированием заниматься в жизни не буду, т к чувствую, что нужно еще очень многое изучать. Спасибо вам еще раз.

Лебедев
Валерий

 
С большим удовольствием занимался с учителем, т к начал понимать программирование на более углубленном уровне. Очень много изучали такую тему как "указатели" и я их понял наконец-таки очень хорошо. Понимание указателей...

Минаев
Сергей

 
Выражаю благодарность за добросовестную подготовку к успешной сдаче ЕГЭ по информатике и ИКТ. Особенно хочется отметить подход репетитора к работе, видно, что ему тоже интересно совместно со мной решать эти задачи, он...

Малышев
Евгений

 
В школе никогда не было нормальной информатики, поэтому на первом курсе я столкнулся с большой проблемой. Надо было научится программировать на языке Паскаль. А я даже не знал азы и не представлял что такое...

Александров
Михаил

 
В школе никогда не было нормальной информатики, поэтому на первом курсе я столкнулся с большой проблемой. Надо было научится программировать на языке "чистый" СИ. А я даже не знал азы и не представлял что такое...

Ахматова
Юлия

 
В нашем вузе я должна была сдавать экзамену по C#. Билеты были очень сложные. Один вопрос теоретический, практическая задача в консоли и лабораторная, связанная с базами данных. Знания у меня были тусклые в этих...

Крылов
Антон

 
Я не ожидал, что получу 83 балла, думал, максимум 70, а результат меня ошеломил. Вы просто мастер Александр Георгиевич, выражаю вам благодарность большую.

Соколов
Дмитрий

 
Я научился тому, о чем мечтал с 15 лет. Александр Георгиевич, оказывается, очень хорошо знает веб-программирование, хотя его основной профиль (по его словам) - подготовка к ОГЭ/ЕГЭ по информатике и ИКТ. Скажу честно,...

Фрунзе
Яна

 
На самом деле я очень счастлива, что получила четыре на экзамене. Я так боялась того, что меня отчислят из-за этого предмета, но мои страхи были напрасными. Благодаря профессионализму Александра Георгиевича, его...

Коряков
Михаил

 
Когда я начал заниматься с Александром Георгиевичем, у меня уже была довольно сильная база, но мы ее упрочили невероятно сильно дополнительными методиками. Я научился решать наиболее оптимально огромное количество задач...

Павленко
Илья

 
Жаль, что я потерял 1 балл)) Александр Георгиевич подготовил меня очень круто. Когда я увидел задания на экзамене, то понял, что я могу решить абсолютно все. На экзамене я не переживал, т к был уверен в собственных...

Богдан
Игнатьев

 
Теперь я чувствую себя уверенно при программировании графических примитивов. Я еще раз убедился, что хороший учитель очень важен для хорошего обучения. В следующем учебном году у нас будет дисциплина "Мультипликация и...

Коваленко
Всеволод

 
Хочу отметить дисциплину на уроках, я чувствовал себя как на официальной паре, никаких шуток и панибратств. Очень понравилось серьезное отношение к дисциплине, т к я сам челвоек дисциплинированный. Спасибо вам!

Каховская
Оксана

 
Хочу всем сказать, что я по своему духу лингвист. Паскаль - это формальный язык написания текстов. Благодаря репетитору я уверенно себя стала чувствовать при написании программ. Мне досконально понятны все базовые...

Иванцова
Татьяна

 
Никогда не думала, что за 15 дней можно серьезно подготовиться к зачету по MS Excel 2003. С репетитором занимались очень интенсивно и очень много решали заданий. Было интересно и познавательно в целом, но в жизни, я...

Юзов
Артур

 
Я благодарен Александру Георгиевичу за его работу со мной. Теперь чувствую себя уверенно при программирование на языке Паскаль. Если у меня в процессе последующего обучения возникнут какие-то проблемы, я обязательно...

Прохоров
Дмитрий

 
Спасибо вам). Я сам не ожидал, что мне поставят пятерку, просто попался билет, связанный с обработкой строк и структур, а мы их с вами очень детально изучили и мне было все предельно ясно. С практической задачей на...

Самуйлов
Кирилл

 
Спасибо вам большое за подготовку, было очень интересно и познавательно. На самом деле я осознаю свою ошибку - нужно было к вам обратиться хотя бы за 3 месяца и тогда бы мы все фундаментально успели рассмотреть и...

Некрасов
Алексей

 
Спасибо большое за помощь. На ваших уроках всегда высокая дисциплина, очень требовательны и строго проверяете домашнее задание. В целом я получил те знания, которые мне требовались. А вообще с графикой сложно работать,...

Миронов
Сергей

 
Очень рад, что поступил в заветный ВУЗ, так как считаю, что именно в этом ВУЗе можно научиться отлично программировать, а репетитор помог мне очень сильно. Было интересно заниматься и сложно. Особенно я целыми часами...

Фомин
Глеб

 
Уф, зачет сдан, я очень рад! А все благодаря этому репетитору. Мне понравилось заниматься с Александром, т к на его уроках нет никакой "воды", все четко по делу, серьезно, дисциплинированно. Также мне понравился стиль...
Смотреть все отзывы
 
 
 
 
 
 
Авторизация на сайте
 
 
 
Обнаружили
ошибку на сайте?
Занятия по информатике