Задача №7 (переплата по кредиту в %-ном отношении)
 

Другие статьи из рубрики «Финансовая математика»

Содержание:

Возникают проблемы с задачами из ЕГЭ по математике на схему дифференцированных платежей?

Всем привет! Вы находитесь на сайте профессионального репетитора по математике, информатике, программированию и базам данных. Генеральное направление моей профессиональной деятельности - подготовка школьников к успешной сдаче ЕГЭ по математике.

Большинство моих учеников занимаются со мной дистанционно, посредством программы "Скайп". Это удобно, эффективно и относительно недорого. Кстати, специально для вас, я подготовил финансовый фильтр, с помощью которого вы сможете подобрать тот вариант нашего сотрудничества, который учитывает все ваши пожелания.

Плохо понимаете способы решения задач, ориентированных на схему дифференцированных платежей? Берите в руки мобильный телефон, набирайте мой контактный номер и записывайтесь на первый пробный урок. Думаю, что сумею сделать из вас чемпиона по экономическим задачам.wink

Условие задачи

Анатолий взял банковский кредит сроком на $9$ лет. В конце каждого года общая сумма оставшегося долга увеличивается на $17\%$, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого года, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый год уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину.

Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Анатолием банку (сверх кредита)?

Решение задачи

В первую очередь нам следует понять, к какому типу кредитной программы относится данная задача. Напомню, что фундаментально существует $2$ схемы выплат по кредиту:

  • схема дифференцированных платежей;

  • схема аннуитетных платежей.

При внимательном прочтении определить тип кредитования достаточно просто, так как в тексте есть некий маркер, а именно следующая фраза: "сумма долга каждый год уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину". Это явное указание на то, что кредит был выдан по модели дифференцируемых платежей.

Вообще, для успешного решения задач на дифференцированные платежи, нужно прекрасно понимать, как устроена соответствующая математическая модель. Кто основательно знает эту модель, тот обычно не испытывает вообще никаких трудностей в процессе решения. Поэтому, если вы плохо знакомы с этой математической моделью, то срочно бегите ее изучать. Тогда вас ждет успех!

Давайте введем следующие обозначения:

\(S\) - размер первоначального кредита \(r\) - процентная ставка банка, выраженная в долях \(R = 1 + r\) - для удобства расчетов
\(n\) - общее количество отчетных периодов \(i\) - номер текущего отчетного периода \(\%_{i}\) - размер начисленных банком процентов за конкретный период
\(p_{i}\) - размер платежа за конкретный период \(P\) - общая сумма всех выплат/платежей \(q\) - ставка банка, выраженная в процентах

Этими обозначениями я пользуюсь абсолютно во всех примерах, выложенных на моем персональном сайте. Это позволяет читателю легко переключаться между решениями и эффективно понимать математические вычисления. Хотя на других сайтах, в книжных пособиях переменные могут называться совсем по-другому.

Из условия вытекает, что:

$S = S$, млн. рублей $n = 9$ $q = 17\%$ $процент \: переплаты - ?$

Давайте внимательно прочитаем предложение, в котором говорится о том, что нам требуется отыскать: "Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Анатолием банку (сверх кредита)?". Вот скажу честно, можно было бы и получше, поточнее сформулировать.angry Чувствуется какая-то неоднозначность в этом предложении.

Фраза "от суммы кредита" предполагает, что размер первоначального кредита берется за базу. Слабо представляете контекст фразы "за базу"? Тогда вам стоит повторить понятие простого процента и соответствующих задач. Затем нам нужно отыскать величину переплаты и найти, сколько процентов эта величина переплаты составляет от размера первоначального займа $S$.

Также, давайте прямо сейчас получим процентную ставку банка, выраженную в долях. Используем следующую формулу:

$r = \frac{q}{100\%} = \frac{17\%}{100\%} = 0.17$

Как бы там ни было, но без фундаментальной формулы математической схемы дифференцированных платежей дальше не обойтись:

$P = \frac{S\ *\ r\ *\ (n\ +\ 1)}{2} + S$.

Наша конечная цель - получить размер переплаты по кредиту, то есть нам нужно отыскать размер начисленных банком процентов. В этом случае нам не надо учитывать размер взятого займа. Вот, более точная формула, которой нужно воспользоваться:

$\% = \frac{S\ *\ r\ *\ (n\ +\ 1)}{2}$

Давайте подставим все известные в эту крутейшую формулу:

$\% = \frac{S\ *\ 0.17\ *\ (9\ +\ 1)}{2}$

$\% = S * 0.17 * 5$

$\% = 0.85 * S$

Итак, мы получили размер переплаты по кредиту за все отчетные периоды, но результат не является конкретным значением, а выражен через $S$. Это нормально! Все, что нам осталось рассчитать, это то, сколько процентов от величины $S$ составляет величина $\%$. Составим и решим отношение:

$\begin{cases} S - 100\% \\ 0.85 * S - x\% \end{cases} \:\:\: \leftrightarrow \:\:\: x = \frac{0.85\ *\ S\ *\ 100\%}{S} = 85\%$

Готово! Легко, не так ли? angel Если интерпретировать полученное значение, то можно сказать, что Анатолию придется помимо самого кредита, выплатить сверху еще сумму, которая составляет $85\%$ от первоначального кредита. Это значение и будет являться официальным ответом.

А ответ-то правильный?! Чтобы верифицировать полученный результат, я со своими учениками на уроке строю специальную аналитическую таблицу в программе "MS Excel":

Эта аналитическая таблица демонстрирует все этапы схемы дифференцированных платежей по кредиту. Сейчас четко видно, что Анатолию придется переплатить банку сумму, которая составляет ровно $85\%$, от размера первоначальной ссуды. Доказано!

Всем рекомендую прибегать к подобной проверке. Помимо того, что можно доказать правильность своего решения, также можно проводить построчный анализ платежей, начисленных банком процентов и т.п. за каждый отчетный период. То есть эта таблица показывает изнанку схемы дифференцированных платежей.

Ответ: $85\%$.

Выводы и рекомендации

Ниже я приведу несколько рекомендаций, а не жестких требований, которым нужно следовать безоговорочно:

  • Изучайте фундаментально математическую модель дифференцированных платежей. Тот, кто хорошо ее понимает, обычно щелкает подобные задачки буквально за $2-3$ минуты.

  • Умейте определять кредитную программу, которая зашифрована в условии задачи. Для этого нужно эффективно находить нужные маркеры, указывающие на нее. В данной задаче фраза о том, что долг убывает равномерно, выступает как раз таким маркером.

  • Старайтесь решать задания на схему дифференцированных платежей алгебраическим, а не арифметическим способом. Правильное применение алгебраического способа решения позволяет предельно быстро и точно получить правильный результат.

  • Для верификации полученных ответов используйте таблицу, построенную, как вариант, в программе "MS Excel".

Примеры условий реальных задач, встречающихся на ЕГЭ по математике

Абсолютно очевидно, что недостаточно разобрать лишь одну задачу на схему дифференцированных платежей! Поэтому, для закрепления полученных знаний, я предлагаю каждому из читателей самостоятельно решить следующие задания из раздела "Финансовая математика" экзамена ЕГЭ по математике. Все они ориентированы на схему дифференцированных платежей.

Если что-то не будет получаться - не критично! Переходите по соответствующей ссылке и знакомьтесь с текстовым решением. Также можете записываться ко мне на индивидуальную подготовку. На уроке сможем десятками "грызть" подобные примеры.laugh

Пример №1

В мае планируется взять кредит в банке на сумму \(10\) миллионов рублей на \(5\) лет.
Условия его возврата таковы:

  • Каждый декабрь долг возрастает на \(10\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С января по март каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В мае каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на май предыдущего года.

Сколько миллионов рублей составила общая сумма выплат после погашения банковского кредита?

Перейти к текстовому решению

Пример №2

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(6\) миллионов рублей на некоторый срок.
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(20\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил \(1.8\) миллиона рублей?

Перейти к текстовому решению

Пример №3

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(20\) миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(30\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась \(47\) миллионов рублей?

Перейти к текстовому решению

Пример №4

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(16\) миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(25\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась \(38\) миллионов рублей?

Перейти к текстовому решению

Пример №5

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(6\) миллионов рублей на срок \(15\) лет.
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(q\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Найти \(q\), если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более \(1.9\) миллиона рублей, а наименьший не менее \(0.5\) миллиона рублей.

Перейти к текстовому решению

Пример №6

$15$ января планируется взять кредит в банке на \(39\) месяцев.
Условия его возврата таковы:

  • $1$-го числа каждого месяца долг возрастает на \(q\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца.

  • Со $2$-го по $14$-е число месяца необходимо выплатить часть долга.

  • $15$-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на $15$-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на $20\%$ больше суммы, взятой в кредит. Найдите $q$.

Перейти к текстовому решению

Пример №7

Анатолий взял банковский кредит сроком на \(9\) лет. В конце каждого года общая сумма оставшегося долга увеличивается на \(17\%\), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого года, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый год уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину.

Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Анатолием банку (сверх кредита)?

Перейти к текстовому решению

Пример №8

Анна взяла кредит в банке на срок \(12\) месяцев (\(1\) календарный год). В соответствии с банковским договором Анна возвращает кредит банку ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется \(q\%\) этой суммы, и своим ежемесячным платежом Анна погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга.

Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая модель называется "схемой с дифференцированными платежами"). Известно, что общая сумма, выплаченная Анной банку за весь период кредитования, оказалась на \(13\%\) больше, чем сумма, взятая ей в кредит. Найдите процентную ставку банка, то есть \(q\).

Перейти к текстовому решению

Пример №9

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(28\) миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(25\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платеж составит \(9\) миллионов рублей?

Перейти к текстовому решению

Пример №10

\(15\) января планируется взять кредит в банке на \(15\) месяцев.
Условия его возврата таковы:

  • $1$-го числа каждого месяца долг возрастает на \(1\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца.

  • Со $2$-го по $14$-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга.

  • $15$-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на $15$-е число предыдущего месяца.

Известно, что восьмая выплата составила \(108\,000\) рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Перейти к текстовому решению

Не забывайте периодически заглядывать на эту веб-страницу и обращаться к этому списку заданий. Я постоянно наполняю свой сайт новыми первоклассными разборами. А задачи на схему дифференцированных платежей являются одними из моих любимых, поэтому ими я занимаюсь в $1$-ю очередь.

Хотите научиться профессионально решать задачи на схему дифференцированных платежей? Записывайтесь на частные уроки!

Далеко не факт, что после ознакомления с данным решением у вас в голове вся информация разложится по нужным полочкам. Такое бывает очень редко, когда $1$-го примера достаточно для глубокого изучения какой-либо темы. В этом случае вам следует посетить другие мои решения по схеме дифференцируемых платежей или записаться ко мне на частную подготовку.

Понимаю, что вы достаточно занятой человек, вам нужно готовиться к экзаменам, прорешивать "миллион" примеров, но, несмотря на это, я рекомендую потратить буквально $2-3$ минутки собственного времени и ознакомиться с отзывами клиентов, прошедших подготовку под моим началом.

Я репетитор-практик! Это означает, что на своих уроках львиную долю времени посвящаю конкретным разборам задач на схему дифференцированных платежей. Теории полно в глобальной паутине, а вот для того, чтобы набить руку, требуется постоянная практика.

Действуйте прямо сейчас, так как завтра свободных ученических мест уже может не остаться! И помните, я не занимаюсь ни в каких мини-группах, а сугубо индивидуально, чтобы все свое внимание тратить на одного человека. Это позволяет последнему добиться ошеломительных результатов на официальном экзамене ЕГЭ по математике.

Увидимся на занятии!wink

 

Отзывы
моих учеников

Александров
Михаил

 
В школе никогда не было нормальной информатики, поэтому на первом курсе я столкнулся с большой проблемой. Надо было научится программировать на языке "чистый" СИ. А я даже не знал азы и не представлял что такое...

Трунин
Сергей

 
На редкость сильный репетитор, абсолютно компетентен в преподаваемом предмете, знает язык программирования Turbo Pascal просто "насквозь". Было интересно заниматься и очень познавательно, так как в школе мы ничего этого...

Воробьев
Станислав

 
Я очень рад, что оказался в учениках у Александра Георгиевича. У меня были огромные пробелы в знаниях, связанных со строками, подпрограммами, рекурсией. Думал, что провалю экзамен и буду отчислен, но сдал экзамен на...

Фомин
Глеб

 
Уф, зачет сдан, я очень рад! А все благодаря этому репетитору. Мне понравилось заниматься с Александром, т к на его уроках нет никакой "воды", все четко по делу, серьезно, дисциплинированно. Также мне понравился стиль...

Коряков
Михаил

 
Когда я начал заниматься с Александром Георгиевичем, у меня уже была довольно сильная база, но мы ее упрочили невероятно сильно дополнительными методиками. Я научился решать наиболее оптимально огромное количество задач...

Волков
Антон

 
Было очень сложно и, оказалось, что я совсем не знал ни Excel, ни C#. Александр Георгиевич подтянул мои знания и вывел их на новый квалитативный уровень. Спасибо вам и успехов!

Коваленко
Всеволод

 
Хочу отметить дисциплину на уроках, я чувствовал себя как на официальной паре, никаких шуток и панибратств. Очень понравилось серьезное отношение к дисциплине, т к я сам челвоек дисциплинированный. Спасибо вам!

Сема
Катерина

 
Я очень рада, что нашла такого толкового репетитора-практика, который не только хорошо знает теоретическую часть языка программирования С, но и имеет шикарную базу для реализации различных курсовых работ для таких...

Мельник
Игорь

 
Я рад, что обратился к такому сильному репетитору, как Александр Георгиевич. Видно, что он прекрасно разбирается в студенческом программировании, владеет терминологией на шикарнейшем уровне, очень понятно объясняет....

Павленко
Илья

 
Жаль, что я потерял 1 балл)) Александр Георгиевич подготовил меня очень круто. Когда я увидел задания на экзамене, то понял, что я могу решить абсолютно все. На экзамене я не переживал, т к был уверен в собственных...

Каховская
Оксана

 
Хочу всем сказать, что я по своему духу лингвист. Паскаль - это формальный язык написания текстов. Благодаря репетитору я уверенно себя стала чувствовать при написании программ. Мне досконально понятны все базовые...

Белкин
Юрий

 
Круто, что я сдал на 5 свой экзамен, было оооооочень сложно, но у меня получилось. Кстати, Александр Георгиевич кроме языка СИ еще приводил сравнения с языком С++, очень круто на самом деле. Заниматься понравилось и...

Сычев
Владимир

 
Понравилось заниматься, т к я научился более серьезно понимать программные конструкции, понял наконец-то что такое "указатель" и уже не так сильно боюсь программирования. Главное, больше практиковаться и решать простые...

Потапова
Ирина

 
Спасибо большое вам за помощь. Без вашей поддержки я бы не получила 5-ку на экзамене. Хочу особенно отметить, что на ваших уроках вы даете очень много полезной сопутствующей информации, в том числе и разного рода...

Иванов
Денис

 
Очень много нового узнал о ДС, Александр Георгиевич показал несколько способов построения бинарного дерева, а также реализацию функций повышенного уровня сложности. Когда шел на экзамен, то абсолютно не волновался, так...

Прохоров
Дмитрий

 
Спасибо вам). Я сам не ожидал, что мне поставят пятерку, просто попался билет, связанный с обработкой строк и структур, а мы их с вами очень детально изучили и мне было все предельно ясно. С практической задачей на...

Волков
Павел

 
Спасибо вам большое. Да, курсовая была непростой, но я сдал ее на 5-ку. Хочу отметить атмосферу проводимых уроков: во-первых, мы занимались в чистой и опрятной комнате, во-вторых, на уроке стоит здоровая учебная...

Догаев
Самир

 
Когда я поступил в ВУЗ, то я совсем не умел программировать на С++ и нам сразу стали давать сложные лабораторные, которые мне физически были не под силу. Решил найти репетитора и обратился к Александру Георгиевичу (он...

Станислав
Блок

 
Спасибо вам за подготовку. Было очень интересно и познавательно. Программированием заниматься в жизни не буду, т к чувствую, что нужно еще очень многое изучать. Спасибо вам еще раз.

Юзов
Артур

 
Я благодарен Александру Георгиевичу за его работу со мной. Теперь чувствую себя уверенно при программирование на языке Паскаль. Если у меня в процессе последующего обучения возникнут какие-то проблемы, я обязательно...

Евдокимов
Максим

 
Не думал, что смогу получить 91 балл на ЕГЭ, но у меня получилось, благодаря методикам моего репетитора. Очень понятно объясняет, особенно нюансы, в которых я всегда путался и ленился разбираться.

Самуйлов
Кирилл

 
Спасибо вам большое за подготовку, было очень интересно и познавательно. На самом деле я осознаю свою ошибку - нужно было к вам обратиться хотя бы за 3 месяца и тогда бы мы все фундаментально успели рассмотреть и...

Соколов
Дмитрий

 
Я научился тому, о чем мечтал с 15 лет. Александр Георгиевич, оказывается, очень хорошо знает веб-программирование, хотя его основной профиль (по его словам) - подготовка к ОГЭ/ЕГЭ по информатике и ИКТ. Скажу честно,...
Смотреть все отзывы
 
 
 
 
 
 
Авторизация на сайте
 
 
 
Обнаружили
ошибку на сайте?
Занятия по информатике